연립방정식

예제 1: 연립방정식의 해 확인

$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$의 해가 $x = 2, y = 1$인지 확인하시오.

풀이

첫 번째 방정식: $2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$ ✓

두 번째 방정식: $2 - 1 = 1$ ✓

두 방정식을 모두 만족하므로 $x = 2, y = 1$이 해입니다.

예제 2: 대입법

$\begin{cases} y = 2x - 1 \cdots ① \\ 3x + 2y = 12 \cdots ② \end{cases}$를 풀어라.

풀이

해: $x = 2, y = 3$

검산: ①: $3 = 2(2)-1 = 3$ ✓   ②: $3(2)+2(3) = 6+6 = 12$ ✓

예제 3: 대입법 (한 식을 변환)

$\begin{cases} x + y = 7 \cdots ① \\ 2x - y = 5 \cdots ② \end{cases}$를 대입법으로 풀어라.

풀이

해: $x = 4, y = 3$

예제 4: 가감법 (기본)

$\begin{cases} 2x + y = 7 \cdots ① \\ x - y = 2 \cdots ② \end{cases}$를 가감법으로 풀어라.

풀이

$y$의 계수가 $+1$과 $-1$로 반대이므로 두 식을 더하면 $y$가 소거됩니다.

$$① + ②: \quad (2x + y) + (x - y) = 7 + 2$$ $$3x = 9 \quad \therefore x = 3$$

해: $x = 3, y = 1$

예제 5: 가감법 (계수 맞추기)

$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \cdots ① \\ 3x - y = 1 \cdots ② \end{cases}$를 가감법으로 풀어라.

풀이 ($y$를 소거하는 방법)

$y$의 계수를 맞추기 위해 ②에 $3$을 곱합니다.

$$② \times 3: \quad 9x - 3y = 3 \cdots ②'$$ $$① + ②': \quad (2x + 3y) + (9x - 3y) = 8 + 3$$ $$11x = 11 \quad \therefore x = 1$$

해: $x = 1, y = 2$

예제 6: 괄호가 있는 연립방정식

$\begin{cases} 2(x + y) - x = 8 \cdots ① \\ 3x - (2x - y) = 4 \cdots ② \end{cases}$를 풀어라.

풀이

먼저 각 방정식을 정리합니다.

①: $2x + 2y - x = 8$ → $x + 2y = 8 \cdots ①'$

②: $3x - 2x + y = 4$ → $x + y = 4 \cdots ②'$

$①' - ②'$: $(x + 2y) - (x + y) = 8 - 4$

$y = 4$

$②'$에 대입: $x + 4 = 4$,   $x = 0$

해: $x = 0, y = 4$

예제 7: 분수·소수가 있는 연립방정식

$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2 \cdots ① \\ 0.2x - 0.3y = -0.4 \cdots ② \end{cases}$를 풀어라.

풀이

①에 분모의 최소공배수 $6$을 곱합니다:

$① \times 6$: $3x + 2y = 12 \cdots ①'$

②에 $10$을 곱합니다:

$② \times 10$: $2x - 3y = -4 \cdots ②'$

이제 가감법으로 풉니다.

$①' \times 3$: $9x + 6y = 36 \cdots ①''$

$②' \times 2$: $4x - 6y = -8 \cdots ②''$

$①'' + ②''$: $13x = 28$ → $x = \dfrac{28}{13}$

(이 문제는 정수 해가 아닌 경우입니다. 교과서 문제는 대부분 정수 해가 나옵니다.)

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더 깔끔한 예시:

$\begin{cases} \dfrac{x+y}{2} = 3 \cdots ① \\ 0.5x - y = 1 \cdots ② \end{cases}$를 풀어라.

$① \times 2$: $x + y = 6 \cdots ①'$

$② \times 10$: $5x - 10y = 10$ → $② \times 2$: $x - 2y = 2 \cdots ②'$

$①' - ②'$: $3y = 4$ → $y = \dfrac{4}{3}$... (정수 해 예시로 아래 문제 참고)

결론: 분수나 소수가 있으면 먼저 정수로 변환한 후 가감법이나 대입법을 사용합니다.

예제 8: 개수 문제

사탕과 초콜릿을 합쳐 15개 샀는데, 사탕은 한 개에 300원, 초콜릿은 한 개에 500원이고 총 5500원을 지불했다. 사탕과 초콜릿을 각각 몇 개 샀는지 구하시오.

풀이

사탕 수를 $x$개, 초콜릿 수를 $y$개라 하면:

$$\begin{cases} x + y = 15 \cdots ① \\ 300x + 500y = 5500 \cdots ② \end{cases}$$

②를 $100$으로 나누기: $3x + 5y = 55 \cdots ②'$

$① \times 3$: $3x + 3y = 45 \cdots ①'$

$②' - ①'$: $2y = 10$,   $y = 5$

①에 대입: $x + 5 = 15$,   $x = 10$

답: 사탕 10개, 초콜릿 5개

검산: $10 + 5 = 15$ ✓,   $300 \times 10 + 500 \times 5 = 3000 + 2500 = 5500$ ✓

예제 9: 거리·속력·시간 문제

A 지점에서 B 지점까지 걸어갔다가 뛰어서 돌아왔다. 걸을 때의 속력은 시속 4 km, 뛸 때의 속력은 시속 8 km이다. 총 걸린 시간이 1시간 30분일 때, A-B 사이의 거리를 구하시오.

풀이

A-B 거리를 $d$ km라 하면: (거리가 같으므로 미지수 하나로 풀 수 있지만 연립방정식 연습을 위해)

걸어간 시간을 $t_1$시간, 뛰어온 시간을 $t_2$시간이라 하면:

$$\begin{cases} 4t_1 = 8t_2 \cdots ① \;\;\; (\text{거리가 같음}) \\ t_1 + t_2 = \dfrac{3}{2} \cdots ② \;\;\; (1\text{시간}30\text{분}) \end{cases}$$

①에서 $t_1 = 2t_2$

②에 대입: $2t_2 + t_2 = \dfrac{3}{2}$,   $3t_2 = \dfrac{3}{2}$,   $t_2 = \dfrac{1}{2}$

$t_1 = 1$시간, $t_2 = \dfrac{1}{2}$시간

A-B 거리: $8 \times \dfrac{1}{2} = 4$ km

답: 4 km

예제 10: 농도 문제

5 % 소금물과 10 % 소금물을 섞어 8 % 소금물 300 g을 만들려고 한다. 각각 몇 g씩 섞어야 하는가?

풀이

5 % 소금물을 $x$ g, 10 % 소금물을 $y$ g라 하면:

$$\begin{cases} x + y = 300 \cdots ① \;\;\; (\text{전체 양}) \\ \dfrac{5}{100}x + \dfrac{10}{100}y = \dfrac{8}{100} \times 300 \cdots ② \;\;\; (\text{소금의 양}) \end{cases}$$

②를 $100$으로 곱하고 정리: $5x + 10y = 2400$ → $x + 2y = 480 \cdots ②'$

$②' - ①$: $y = 180$

①에 대입: $x = 120$

답: 5 % 소금물 120 g, 10 % 소금물 180 g

검산: $0.05 \times 120 + 0.10 \times 180 = 6 + 18 = 24 = 0.08 \times 300$ ✓