다항식의 계산

중학교 2학년 1학기 3단원 | 2015 개정 교육과정 | 수준: 중학교 2학년

이 단원에서는 두 개 이상의 항으로 이루어진 다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 학습합니다. 또한 식에 값을 대입하거나 등식을 원하는 문자에 대해 변형하는 방법도 익힙니다. 다항식 계산 능력은 이후 인수분해, 이차방정식, 함수 등 고등 수학의 핵심 기초입니다.

1. 다항식의 기본 용어

정의: 다항식 관련 용어

단항식: 수나 문자의 곱으로만 이루어진 식. 예) $3x$, $-2ab$, $5$
다항식: 단항식의 합으로 이루어진 식. 예) $2x + 3y - 1$, $x^2 - 4x + 4$
항: 다항식을 이루는 각각의 단항식. $2x + 3y - 1$에서 항은 $2x$, $3y$, $-1$
계수: 항에서 문자에 곱해진 수. $3x^2$에서 계수는 $3$
상수항: 문자를 포함하지 않는 항. $2x + 5$에서 상수항은 $5$
차수: 한 항에서 문자가 곱해진 횟수. $x^3$은 $3$차, $x^2y$는 $3$차

2. 동류항과 다항식의 덧셈·뺄셈

정의: 동류항

동류항: 문자와 그 문자의 차수가 같은 항. 계수는 달라도 됩니다.

$3x$와 $-5x$ → 동류항 (문자 $x$, 차수 1로 같음)
$2x^2$와 $7x^2$ → 동류항
$3x$와 $3x^2$ → 동류항 아님 (차수가 다름)
$2xy$와 $-4xy$ → 동류항

다항식의 덧셈·뺄셈 원리

동류항끼리 모아서 계수를 더하거나 뺍니다.

$$ax + bx = (a+b)x, \quad ax - bx = (a-b)x$$

동류항이 아닌 항들은 그냥 그대로 둡니다.

예제 1: 동류항 정리하기

(1) $3x + 2y - x + 5y$를 간단히 하시오.

$x$끼리: $3x - x = 2x$

$y$끼리: $2y + 5y = 7y$

$= 2x + 7y$

(2) $4a^2 - 3a + 1 + 2a^2 + a - 5$를 간단히 하시오.

$a^2$끼리: $4a^2 + 2a^2 = 6a^2$

$a$끼리: $-3a + a = -2a$

상수끼리: $1 - 5 = -4$

$= 6a^2 - 2a - 4$

예제 2: 다항식의 덧셈과 뺄셈

(1) $(3x - 2y + 1) + (x + 4y - 3)$

$= 3x - 2y + 1 + x + 4y - 3$

$= (3x + x) + (-2y + 4y) + (1 - 3)$

$= 4x + 2y - 2$

(2) $(5a - 3b + 2) - (2a + b - 4)$

$= 5a - 3b + 2 - 2a - b + 4$ (빼는 식의 각 항의 부호를 바꿈)

$= (5a - 2a) + (-3b - b) + (2 + 4)$

$= 3a - 4b + 6$

주의: 빼는 식의 괄호 풀기

뺄셈에서 괄호를 풀 때는 괄호 앞의 $-$ 부호를 괄호 안의 모든 항에 적용해야 합니다.

$-(2a + b - 4) = -2a - b + 4$ ← 각 항의 부호가 모두 바뀜

3. 단항식과 다항식의 곱셈

단항식과 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용합니다.

분배법칙

$$a(b + c) = ab + ac$$ $$a(b + c + d) = ab + ac + ad$$

단항식을 다항식의 모든 항에 각각 곱합니다.

예제 3: 단항식 × 다항식

(1) $3(2x - 5)$

$= 3 \times 2x + 3 \times (-5) = 6x - 15$

(2) $2x(3x - 4y + 1)$

$= 2x \times 3x + 2x \times (-4y) + 2x \times 1$

$= 6x^2 - 8xy + 2x$

(3) $-3a(2a^2 - a + 4)$

$= (-3a) \times 2a^2 + (-3a) \times (-a) + (-3a) \times 4$

$= -6a^3 + 3a^2 - 12a$

(4) $2ab(3a - 2b) - a^2(b - 4)$

$= 6a^2b - 4ab^2 - a^2b + 4a^2$

$= 4a^2 + 5a^2b - 4ab^2$ (동류항 정리: $6a^2b - a^2b = 5a^2b$)

4. 다항식의 단항식 나눗셈

다항식을 단항식으로 나눌 때는 각 항을 단항식으로 나누거나, 역수를 곱하는 방법을 사용합니다.

다항식 ÷ 단항식

$$(a + b) \div c = \frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$$

각 항을 나누는 단항식으로 나눕니다.

예제 4: 다항식 ÷ 단항식

(1) $(6x^2 - 9x) \div 3x$

$= \dfrac{6x^2}{3x} - \dfrac{9x}{3x} = 2x - 3$

(2) $(8a^3b - 4a^2b^2 + 2ab) \div 2ab$

$= \dfrac{8a^3b}{2ab} - \dfrac{4a^2b^2}{2ab} + \dfrac{2ab}{2ab}$

$= 4a^2 - 2ab + 1$

(3) $(6x^3 - 9x^2 + 3x) \div (-3x)$

$= \dfrac{6x^3}{-3x} - \dfrac{9x^2}{-3x} + \dfrac{3x}{-3x}$

$= -2x^2 + 3x - 1$

5. 식의 대입과 활용

다항식에서 문자에 수나 다른 식을 대입하면 식의 값이나 간단한 식을 구할 수 있습니다.

예제 5: 식의 값 구하기

(1) $x = 2, y = -1$일 때 $3x^2 - 2xy + y^2$의 값을 구하시오.

$= 3(2)^2 - 2(2)(-1) + (-1)^2$

$= 3 \times 4 - 2 \times 2 \times (-1) + 1$

$= 12 + 4 + 1 = 17$

(2) $x + y = 3$, $xy = -2$일 때 $x^2 + 2xy + y^2$의 값을 구하시오.

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 = 3^2 = 9$

(식을 먼저 변형한 후 대입하면 편리합니다.)

6. 등식의 변형

어떤 등식에서 특정 문자를 다른 문자와 수를 이용하여 나타내는 것을 등식의 변형이라 합니다. 이는 과학, 물리 등에서 공식을 변환할 때 매우 자주 사용됩니다.

등식의 변형 원리

등식의 성질을 이용하여 원하는 문자를 한쪽으로 모읍니다.

양변에 같은 수를 더하거나 빼도 등식 성립
양변에 같은 수를 곱하거나 나누어도 등식 성립 (0으로 나누기 제외)

예제 6-1: 등식의 변형 (기본)

다음 등식을 $[ ]$ 안의 문자에 대해 풀어 나타내시오.

(1) $2x + 3y = 6$ $[y]$에 대해

① $2x$를 우변으로: $3y = 6 - 2x$

② 양변을 $3$으로 나누기: $y = \dfrac{6 - 2x}{3} = 2 - \dfrac{2}{3}x$

(2) $v = v_0 + at$ $[a]$에 대해 (물리 공식)

① $v_0$를 우변으로: $v - v_0 = at$

② 양변을 $t$로 나누기: $a = \dfrac{v - v_0}{t}$

(3) $S = \dfrac{1}{2}(a + b)h$ $[b]$에 대해 (사다리꼴 넓이 공식)

① 양변에 $2$를 곱하기: $2S = (a + b)h$

② 양변을 $h$로 나누기: $\dfrac{2S}{h} = a + b$

③ $a$를 이항: $b = \dfrac{2S}{h} - a$

예제 6-2: 등식의 변형 (심화)

$\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{5}$를 $x$에 대해 풀어 나타내시오.

① 양변에 $2$를 곱하기: $x - 1 = \dfrac{2(y+3)}{5}$

② 양변에 $5$를 곱하기: $5(x-1) = 2(y+3)$

③ 전개: $5x - 5 = 2y + 6$

④ $x$를 분리: $5x = 2y + 11$ → $x = \dfrac{2y + 11}{5}$

등식 변형의 활용 예시

원래 공식	변형
$v = \dfrac{d}{t}$ (속력)	$d = vt$, $t = \dfrac{d}{v}$
$C = 2\pi r$ (원의 둘레)	$r = \dfrac{C}{2\pi}$
$PV = nRT$ (기체 법칙)	$T = \dfrac{PV}{nR}$, $P = \dfrac{nRT}{V}$

연습 문제

다음 식을 간단히 하시오.
(1) $5x - 3y + 2x + y$ (2) $3a^2 - 2a + 4 - a^2 + 5a - 7$

다음 식을 계산하시오.
(1) $(4x + y - 3) + (x - 2y + 5)$ (2) $(3a - b + 2) - (a + 3b - 4)$

다음을 전개하시오. (분배법칙 적용)
(1) $3x(2x - y + 4)$ (2) $-2a(a^2 - 3a + 5)$ (3) $2xy(x - 3y) + y(x^2 - 2y^2)$

다음을 계산하시오.
(1) $(10x^3 - 5x^2 + 15x) \div 5x$ (2) $(12a^2b - 8ab^2) \div (-4ab)$

다음 등식을 $[ ]$ 안의 문자에 대해 풀어 나타내시오.
(1) $5x - 2y = 10$ $[y]$ (2) $\dfrac{a+b}{2} = m$ $[b]$

$a = 1$, $b = -2$일 때, $3a(2a-b) - 2b(a+3b)$의 값을 구하시오.

정답 보기

(1) $7x - 2y$ (2) $2a^2 + 3a - 3$
(1) $5x - y + 2$ (2) $2a - 4b + 6$
(1) $6x^2 - 3xy + 12x$ (2) $-2a^3 + 6a^2 - 10a$ (3) $2x^2y - 6xy^2 + x^2y - 2y^3 = 3x^2y - 6xy^2 - 2y^3$
(1) $2x^2 - x + 3$ (2) $-3a + 2b$
(1) $y = \dfrac{5x-10}{2} = \dfrac{5}{2}x - 5$ (2) $b = 2m - a$
$3(1)(2-(-2)) - 2(-2)(1+3(-2)) = 3 \times 4 - (-4)(-5) = 12 - 20 = -8$

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