단항식의 계산
이 단원에서는 거듭제곱의 성질인 지수법칙을 학습하고, 이를 이용하여 단항식의 곱셈과 나눗셈을 계산하는 방법을 익힙니다. 지수법칙은 이후 다항식 계산, 인수분해, 방정식 등의 기초가 되는 매우 중요한 개념입니다.
1. 거듭제곱의 기초
정의: 거듭제곱
같은 수나 문자를 여러 번 곱한 것을 거듭제곱이라 하고, 곱한 횟수를 지수, 곱해지는 수나 문자를 밑이라고 합니다.
$$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{개}}$$예) $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$, $a^4 = a \times a \times a \times a$
2. 지수법칙
지수법칙은 단항식 계산에서 핵심이 되는 네 가지 규칙입니다. 각각을 정확히 이해하고 적용하는 연습이 필요합니다.
지수법칙 종합 정리 (단, $m, n$은 자연수, $a \neq 0, b \neq 0$)
법칙 1: 같은 밑의 거듭제곱의 곱
밑이 같은 거듭제곱끼리 곱할 때는 지수를 더합니다.
$$a^m \times a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{m} \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n} = a^{m+n}$$예제 1: 같은 밑의 거듭제곱의 곱
(1) $a^3 \times a^5 = a^{3+5} = a^8$
(2) $2^4 \times 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 = 128$
(3) $x^2 \times x \times x^4 = x^{2+1+4} = x^7$ (단, $x = x^1$)
(4) $3^2 \times 3^3 \times 3 = 3^{2+3+1} = 3^6 = 729$
주의: 밑이 달라야 적용 불가
$a^3 \times b^2$처럼 밑이 다른 경우에는 지수법칙 1을 사용할 수 없습니다. 법칙 1은 반드시 밑이 같을 때만 적용됩니다.
법칙 2: 거듭제곱의 거듭제곱
거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때는 지수를 곱합니다.
$$(a^m)^n = \underbrace{a^m \times a^m \times \cdots \times a^m}_{n\text{개}} = a^{mn}$$예제 2: 거듭제곱의 거듭제곱
(1) $(a^3)^4 = a^{3 \times 4} = a^{12}$
(2) $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
(3) $\{(x^2)^3\}^2 = (x^6)^2 = x^{12}$ (안쪽부터 차례로 적용)
(4) $(a^4)^3 \times a^2 = a^{12} \times a^2 = a^{14}$ (법칙 2 후 법칙 1 적용)
자주 하는 실수
$(a^3)^4 \neq a^{3+4} = a^7$ ← 틀림!
$(a^3)^4 = a^{3 \times 4} = a^{12}$ ← 맞음
법칙 1(곱셈)은 지수를 더하고, 법칙 2(거듭제곱)는 지수를 곱합니다.
법칙 3: 곱의 거듭제곱
곱의 형태를 거듭제곱할 때는 각각에 지수를 분배합니다.
$$(ab)^n = a^n b^n, \quad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$예제 3: 곱의 거듭제곱
(1) $(2a)^3 = 2^3 \times a^3 = 8a^3$
(2) $(3xy)^2 = 3^2 \times x^2 \times y^2 = 9x^2y^2$
(3) $(-2ab^2)^3 = (-2)^3 \times a^3 \times (b^2)^3 = -8a^3b^6$
(4) $\left(\dfrac{x^2}{y}\right)^4 = \dfrac{(x^2)^4}{y^4} = \dfrac{x^8}{y^4}$
법칙 4: 같은 밑의 거듭제곱의 나눗셈
밑이 같은 거듭제곱끼리 나눌 때는 지수를 뺍니다.
$$a^m \div a^n = a^{m-n} \quad (m > n, \; a \neq 0)$$예제 4: 같은 밑의 거듭제곱의 나눗셈
(1) $a^7 \div a^3 = a^{7-3} = a^4$
(2) $3^5 \div 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27$
(3) $x^8 \div x^5 \div x = x^{8-5-1} = x^2$
(4) $(a^3)^4 \div a^7 = a^{12} \div a^7 = a^{12-7} = a^5$
지수의 비교
- $m > n$이면 $a^m \div a^n = a^{m-n}$
- $m = n$이면 $a^m \div a^n = a^0 = 1$ (중3에서 학습)
- $m < n$이면 $a^m \div a^n = \dfrac{1}{a^{n-m}}$ (중3에서 학습)
중학교 2학년 과정에서는 $m > n$인 경우만 다룹니다.
3. 단항식의 곱셈
단항식끼리 곱할 때는 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리(지수법칙 적용) 계산합니다.
단항식의 곱셈 방법
$(계수_1 \times 문자^a) \times (계수_2 \times 문자^b) = (계수_1 \times 계수_2) \times 문자^{a+b}$
예제 5: 단항식의 곱셈
(1) $3a^2 \times 4a^3$
$= (3 \times 4) \times (a^2 \times a^3) = 12a^5$
(2) $(-2x^3) \times 5x^2$
$= (-2 \times 5) \times (x^3 \times x^2) = -10x^5$
(3) $3a^2b \times (-2ab^3)$
$= (3 \times (-2)) \times (a^2 \times a) \times (b \times b^3) = -6a^3b^4$
(4) $2x^2y \times (-3xy^2) \times x$
$= \{2 \times (-3) \times 1\} \times (x^2 \times x \times x) \times (y \times y^2)$
$= -6x^4y^3$
(5) $(2a)^2 \times 3a^3$
$= 4a^2 \times 3a^3 = 12a^5$ (먼저 거듭제곱 계산 후 곱셈)
4. 단항식의 나눗셈
단항식을 단항식으로 나눌 때는 나누는 식의 역수를 곱하는 방법을 사용하거나, 분수식으로 나타내어 약분합니다.
예제 6: 단항식의 나눗셈
(1) $12a^5 \div 4a^2$
$= \dfrac{12a^5}{4a^2} = \dfrac{12}{4} \times a^{5-2} = 3a^3$
(2) $8x^3y^4 \div (-2xy^2)$
$= \dfrac{8x^3y^4}{-2xy^2} = \dfrac{8}{-2} \times x^{3-1} \times y^{4-2} = -4x^2y^2$
(3) $6a^4b^3 \div 3a^2b \div 2b$
왼쪽부터 차례로:
$= (6a^4b^3 \div 3a^2b) \div 2b = 2a^2b^2 \div 2b = a^2b$
(4) $(3x^2)^2 \div 9x$
$= 9x^4 \div 9x = x^{4-1} = x^3$
5. 단항식의 사칙혼합계산
곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 경우, 왼쪽부터 순서대로 계산하거나, 나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꾸어 한꺼번에 계산하면 편리합니다.
예제 7: 혼합 계산
(1) $6a^3b^2 \div 2ab \times 3a^2$
방법 1 (왼쪽부터):
$= (6a^3b^2 \div 2ab) \times 3a^2 = 3a^2b \times 3a^2 = 9a^4b$
(2) $4x^2y \div \dfrac{2x}{3} \times xy^2$
방법 (역수 곱셈):
$= 4x^2y \times \dfrac{3}{2x} \times xy^2 = \dfrac{4 \times 3 \times 1}{1 \times 2 \times 1} \times x^{2-1+1} \times y^{1+2} = 6x^2y^3$
(3) $(-2a)^3 \div 4a \times 3a^2$
$(-2a)^3 = -8a^3$이므로:
$= -8a^3 \div 4a \times 3a^2 = -2a^2 \times 3a^2 = -6a^4$
계산 순서 정리
- 괄호가 있으면 먼저 지수법칙(법칙 2, 3)으로 전개
- 나눗셈을 역수의 곱셈으로 변환
- 계수끼리, 같은 문자끼리 지수법칙 1을 적용하여 계산
- 음수 계수의 부호에 주의
지수법칙 정리표
| 법칙 | 공식 | 예시 |
|---|---|---|
| 같은 밑의 곱 | $a^m \times a^n = a^{m+n}$ | $x^3 \times x^4 = x^7$ |
| 거듭제곱의 거듭제곱 | $(a^m)^n = a^{mn}$ | $(x^3)^4 = x^{12}$ |
| 곱의 거듭제곱 | $(ab)^n = a^n b^n$ | $(2x)^3 = 8x^3$ |
| 같은 밑의 나눗셈 | $a^m \div a^n = a^{m-n}$ | $x^7 \div x^3 = x^4$ |
연습 문제
연습 문제
- 다음을 간단히 하시오.
(1) $a^4 \times a^6$ (2) $(x^2)^5$ (3) $(2ab^2)^3$ (4) $y^9 \div y^4$ - 다음을 계산하시오.
(1) $(-3x^2) \times 4x^3$ (2) $2a^2b \times (-3ab^2)$ (3) $(2x)^2 \times 3x^3$ - 다음을 계산하시오.
(1) $15a^5 \div 5a^2$ (2) $-6x^3y^2 \div 2xy$ (3) $(3a^2)^2 \div 3a$ - 다음 혼합 계산을 하시오.
(1) $4a^3 \times 3a^2 \div 6a$ (2) $8x^2y^3 \div 4xy \times 2x^2$ - $A \div 2a^2b = 3ab^2$일 때, 단항식 $A$를 구하시오.
정답 보기
- (1) $a^{10}$ (2) $x^{10}$ (3) $8a^3b^6$ (4) $y^5$
- (1) $-12x^5$ (2) $-6a^3b^3$ (3) $12x^5$
- (1) $3a^3$ (2) $-3x^2y$ (3) $3a^3$
- (1) $4a^3 \times 3a^2 \div 6a = 12a^5 \div 6a = 2a^4$ (2) $8x^2y^3 \div 4xy \times 2x^2 = 2xy^2 \times 2x^2 = 4x^3y^2$
- $A = 3ab^2 \times 2a^2b = 6a^3b^3$