유리수와 순환소수
이 단원에서는 유리수를 소수로 나타내는 방법을 학습하고, 유한소수와 무한소수의 차이, 순환소수의 개념과 표기법, 그리고 순환소수를 다시 분수로 변환하는 방법을 익힙니다. 유리수와 소수 사이의 관계를 깊이 이해하는 것이 이 단원의 핵심입니다.
1. 유리수의 소수 표현
유리수는 $\frac{a}{b}$ (단, $a, b$는 정수, $b \neq 0$) 꼴로 나타낼 수 있는 수입니다. 모든 유리수는 소수로 나타낼 수 있으며, 이때 유한소수 또는 무한소수 중 하나가 됩니다.
정의: 유한소수와 무한소수
- 유한소수: 소수점 아래 숫자가 유한개인 소수. 예) $0.5$, $1.25$, $3.125$
- 무한소수: 소수점 아래 숫자가 무한히 계속되는 소수. 예) $0.333\ldots$, $0.142857\ldots$
분수를 소수로 나타내려면 분자를 분모로 나누면 됩니다.
예제 1: 분수를 소수로 나타내기
다음 분수를 소수로 나타내시오.
(1) $\dfrac{3}{4}$ (2) $\dfrac{1}{3}$ (3) $\dfrac{5}{6}$
풀이
(1) $\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75$ → 유한소수
(2) $\dfrac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333\ldots$ → 무한소수 (3이 반복)
(3) $\dfrac{5}{6} = 5 \div 6 = 0.8333\ldots$ → 무한소수 (3이 반복)
2. 순환소수의 뜻과 표현
무한소수 중에서 소수점 아래 어느 자리부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 소수를 순환소수라고 합니다. 이때 반복되는 숫자의 배열을 순환마디라고 합니다.
정의: 순환소수와 순환마디
순환소수: 소수점 아래에서 일정한 숫자의 배열이 한없이 반복되는 무한소수
순환마디: 반복되는 숫자의 배열 (가장 짧은 마디를 선택)
점 표기법: 순환마디의 첫 번째 숫자와 마지막 숫자 위에 점(·)을 찍어 표시
- 순환마디가 한 자리: $0.\dot{3} = 0.333\ldots$
- 순환마디가 두 자리 이상: $0.\dot{1}\dot{2} = 0.121212\ldots$, $\;1.\dot{3}2\dot{1} = 1.321321321\ldots$
예제 2: 순환소수의 표현
다음 순환소수를 점 표기법으로 나타내고, 순환마디를 구하시오.
(1) $0.444\ldots$ (2) $0.121212\ldots$ (3) $2.3454545\ldots$
풀이
(1) 순환마디: $4$ → $0.\dot{4}$
(2) 순환마디: $12$ → $0.\dot{1}\dot{2}$
(3) 소수점 아래에서 $45$가 반복 → 순환마디: $45$ → $2.3\dot{4}\dot{5}$
주의: 순환마디는 가장 짧게
$0.121212\ldots$의 순환마디는 $12$입니다. $1212$나 $121212$로 쓰면 안 됩니다. 반복되는 가장 짧은 배열을 순환마디로 선택해야 합니다.
3. 유한소수가 되는 조건
기약분수 $\dfrac{a}{b}$를 소수로 나타낼 때 유한소수가 되는지 순환소수가 되는지는 분모 $b$의 소인수에 의해 결정됩니다.
정리: 유한소수가 되는 조건
기약분수 $\dfrac{a}{b}$를 소수로 나타낼 때,
- 분모 $b$의 소인수가 $2$와 $5$뿐이면 → 유한소수
- 분모 $b$의 소인수 중 $2$와 $5$ 이외의 소인수가 있으면 → 순환소수
이유: 분모를 $10^n = 2^n \times 5^n$ 꼴로 만들 수 있으면 분수를 $\dfrac{(\text{정수})}{10^n}$ 꼴로 나타낼 수 있어 유한소수가 됩니다.
예제 3: 유한소수가 되는 조건 판별
다음 분수가 유한소수인지 순환소수인지 판별하시오.
(1) $\dfrac{3}{8}$ (2) $\dfrac{7}{12}$ (3) $\dfrac{9}{15}$ (4) $\dfrac{11}{40}$
풀이
(1) $8 = 2^3$ → 소인수가 $2$뿐 → 유한소수
실제 계산: $\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \times 5^3}{2^3 \times 5^3} = \dfrac{375}{1000} = 0.375$ ✓
(2) $12 = 2^2 \times 3$ → 소인수 $3$이 있음 → 순환소수
실제 계산: $\dfrac{7}{12} = 0.58333\ldots = 0.58\dot{3}$
(3) 먼저 기약분수로 변환: $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$ → $5 = 5^1$ → 소인수가 $5$뿐 → 유한소수
실제 계산: $\dfrac{3}{5} = 0.6$ ✓
(4) $40 = 2^3 \times 5$ → 소인수가 $2, 5$뿐 → 유한소수
실제 계산: $\dfrac{11}{40} = \dfrac{11 \times 5^2}{2^3 \times 5^3} = \dfrac{275}{1000} = 0.275$ ✓
핵심 포인트: 반드시 기약분수로 먼저!
유한소수가 되는 조건을 판별할 때는 반드시 기약분수로 약분한 후 분모의 소인수를 확인해야 합니다. 약분 전 분수의 분모로 판별하면 틀릴 수 있습니다.
예제 4: 분수를 유한소수로 만들기
분수 $\dfrac{a}{60}$이 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$를 구하시오.
풀이
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$이므로, $\dfrac{a}{60}$이 기약분수가 된 후 분모의 소인수가 $2$와 $5$뿐이 되려면 분모에서 $3$이 약분되어야 합니다.
따라서 $a$는 $3$의 배수이어야 합니다.
가장 작은 자연수 $a = 3$
확인: $\dfrac{3}{60} = \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{2^2 \times 5}$ → 소인수가 $2, 5$뿐 → 유한소수 ✓
$\dfrac{1}{20} = \dfrac{5}{100} = 0.05$
4. 순환소수를 분수로 나타내기
순환소수는 다시 분수(유리수)로 나타낼 수 있습니다. 이를 위해 방정식을 활용합니다.
방법: 순환소수를 분수로 변환하기
- 순환소수를 $x$로 놓는다.
- 순환마디의 자릿수만큼 10의 거듭제곱을 곱한다.
- 두 식을 빼서 소수 부분을 없앤다.
- $x$에 대해 풀어 분수로 나타낸다.
- 기약분수로 약분한다.
예제 5-1: 순환소수 $0.\dot{3}$을 분수로
풀이
$x = 0.\dot{3} = 0.333\ldots$ 로 놓으면
순환마디가 $3$ (한 자리)이므로 $10$을 곱합니다.
$$10x = 3.333\ldots$$ $$\underline{-)\quad x = 0.333\ldots}$$ $$9x = 3$$ $$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$따라서 $0.\dot{3} = \dfrac{1}{3}$
예제 5-2: 순환소수 $0.\overline{12}$를 분수로
($0.\overline{12} = 0.\dot{1}\dot{2} = 0.121212\ldots$)
풀이
$x = 0.121212\ldots$ 로 놓으면
순환마디가 $12$ (두 자리)이므로 $100$을 곱합니다.
$$100x = 12.121212\ldots$$ $$\underline{-)\quad x = \phantom{1}0.121212\ldots}$$ $$99x = 12$$ $$x = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$$따라서 $0.\overline{12} = \dfrac{4}{33}$
예제 5-3: 순환소수 $0.1\dot{6}$을 분수로
($0.1\dot{6} = 0.1666\ldots$, 순환마디가 소수점 바로 아래가 아닌 경우)
풀이
$x = 0.1666\ldots$ 로 놓으면
순환마디 $6$이 소수점 아래 두 번째 자리부터 시작하므로 $10$을 곱한 것과 $100$을 곱한 것의 차를 이용합니다.
$$100x = 16.666\ldots$$ $$\underline{-)\quad 10x = \phantom{0}1.666\ldots}$$ $$90x = 15$$ $$x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$$따라서 $0.1\dot{6} = \dfrac{1}{6}$
공식처럼 외우기
순환마디가 소수점 바로 아래부터 시작하는 경우, 빠른 공식을 쓸 수 있습니다.
- 순환마디가 $n$자리: 분모는 $n$개의 $9$ (예: 한 자리 → $9$, 두 자리 → $99$, 세 자리 → $999$)
- $0.\dot{a} = \dfrac{a}{9}$, $0.\dot{a}\dot{b} = \dfrac{ab}{99}$, $0.\dot{a}b\dot{c} = \dfrac{abc}{999}$
소수점 아래 비순환 부분이 있는 경우: $\dfrac{(전체 순환마디 포함) - (비순환 부분)}{(9의 수)(0의 수)}$
5. 유리수와 소수의 관계
정리: 유리수와 소수의 관계
- 모든 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있다.
- 모든 유한소수 또는 순환소수는 유리수이다.
따라서: 유리수 = 유한소수 또는 순환소수
참고: 무한소수 중에서 순환하지 않는 소수(예: $\pi = 3.14159\ldots$, $\sqrt{2} = 1.41421\ldots$)는 무리수이며 유리수가 아닙니다.
| 소수의 종류 | 예시 | 유리수 여부 |
|---|---|---|
| 유한소수 | $0.5$, $1.25$, $3.75$ | 유리수 ○ |
| 순환소수 (무한소수) | $0.\dot{3}$, $0.\dot{1}\dot{2}$ | 유리수 ○ |
| 비순환 무한소수 | $\pi$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ | 유리수 ✗ (무리수) |
예제 6: 종합 문제
분수 $\dfrac{n}{14}$를 소수로 나타내면 유한소수가 된다. 이를 만족하는 10 이하의 자연수 $n$을 모두 구하시오.
풀이
$14 = 2 \times 7$이므로 $\dfrac{n}{14}$가 유한소수가 되려면 약분 후 분모의 소인수가 $2$와 $5$뿐이어야 합니다.
분모에서 소인수 $7$이 없어지려면 $n$이 $7$의 배수이어야 합니다.
10 이하의 자연수 중 $7$의 배수: $7$
$n = 7$일 때: $\dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}$ → 분모 $2 = 2^1$ → 유한소수 ✓ ($= 0.5$)
따라서 $n = 7$
연습 문제
연습 문제
- 다음 분수를 소수로 나타내고, 유한소수이면 '유한', 순환소수이면 '순환'이라 쓰시오.
(1) $\dfrac{7}{8}$ (2) $\dfrac{5}{11}$ (3) $\dfrac{4}{25}$ (4) $\dfrac{2}{7}$ - 다음 순환소수를 점 표기법으로 나타내시오.
(1) $0.777\ldots$ (2) $0.135135135\ldots$ (3) $1.2383838\ldots$ - 다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것을 모두 고르시오.
① $\dfrac{3}{20}$ ② $\dfrac{4}{15}$ ③ $\dfrac{7}{28}$ ④ $\dfrac{11}{44}$ ⑤ $\dfrac{9}{24}$ - 다음 순환소수를 분수로 나타내시오.
(1) $0.\dot{7}$ (2) $0.\dot{2}\dot{7}$ (3) $0.3\dot{6}$ (4) $1.\dot{2}3\dot{4}$ - $\dfrac{a}{2^3 \times 5 \times 7}$이 유한소수가 되기 위한 가장 작은 자연수 $a$를 구하시오.
정답 보기
- (1) $0.875$, 유한 (2) $0.\dot{4}\dot{5}$, 순환 (3) $0.16$, 유한 (4) $0.\dot{2}8571\dot{4}$, 순환
- (1) $0.\dot{7}$ (2) $0.\dot{1}3\dot{5}$ (3) $1.2\dot{3}\dot{8}$
- ① $20 = 2^2 \times 5$ ✓, ③ $\frac{7}{28} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$ ✓, ④ $\frac{11}{44} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$ ✓ → ①③④
- (1) $\dfrac{7}{9}$ (2) $\dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$ (3) $\dfrac{33}{90} = \dfrac{11}{30}$ (4) $\dfrac{1234 - 1}{999} = \dfrac{1233}{999} = \dfrac{137}{111}$
- $a = 7$