부등식
이 단원에서는 등호(=) 대신 부등호(<, >, ≤, ≥)를 사용하여 두 수 또는 식의 대소 관계를 나타내는 부등식을 학습합니다. 부등식의 성질을 이해하고 일차부등식과 연립부등식을 풀며, 실생활 문제에 적용하는 능력을 기릅니다.
1. 부등식의 뜻과 부등호
정의: 부등식과 부등호
부등식: 부등호를 사용하여 두 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식
| 부등호 | 읽는 방법 | 의미 | 예시 |
|---|---|---|---|
| $a < b$ | $a$는 $b$보다 작다 | $a$가 더 작음 | $x < 3$ |
| $a > b$ | $a$는 $b$보다 크다 | $a$가 더 큼 | $2x > 5$ |
| $a \leq b$ | $a$는 $b$보다 작거나 같다 | $a \leq b$ | $x \leq -1$ |
| $a \geq b$ | $a$는 $b$보다 크거나 같다 | $a \geq b$ | $3x \geq 6$ |
예제 1: 부등식으로 나타내기
다음을 부등식으로 나타내시오.
(1) "$x$는 5보다 크다" → $x > 5$
(2) "$x$의 2배는 10보다 작거나 같다" → $2x \leq 10$
(3) "어떤 수 $x$에서 3을 뺀 값은 7 이상이다" → $x - 3 \geq 7$
(4) "100원짜리 연필 $x$자루의 값은 500원 미만이다" → $100x < 500$
2. 부등식의 성질
부등식을 풀기 위해서는 부등식의 성질을 정확히 알아야 합니다. 특히 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 것이 핵심입니다.
부등식의 성질 (단, $a < b$일 때)
| 성질 | 내용 | 예시 |
|---|---|---|
| 덧셈·뺄셈 | $a + c < b + c$ (부등호 방향 불변) | $1 < 3$ → $1+2 < 3+2$, $3 < 5$ ✓ |
| 양수 곱셈 | $c > 0$이면 $ac < bc$ (부등호 방향 불변) | $1 < 3$ → $1\times2 < 3\times2$, $2 < 6$ ✓ |
| 양수 나눗셈 | $c > 0$이면 $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$ (부등호 방향 불변) | $2 < 4$ → $\frac{2}{2} < \frac{4}{2}$, $1 < 2$ ✓ |
| 음수 곱셈 | $c < 0$이면 $ac \mathbf{>} bc$ (부등호 방향 바뀜!) | $1 < 3$ → $1\times(-2) > 3\times(-2)$, $-2 > -6$ ✓ |
| 음수 나눗셈 | $c < 0$이면 $\dfrac{a}{c} \mathbf{>} \dfrac{b}{c}$ (부등호 방향 바뀜!) | $2 < 4$ → $\frac{2}{-2} > \frac{4}{-2}$, $-1 > -2$ ✓ |
핵심 주의: 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀜!
부등식에서 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때는 반드시 부등호의 방향을 바꾸어야 합니다.
$-x < 3$ 을 풀 때: 양변을 $-1$로 나누면 → $x > -3$ (부등호 방향 바뀜)
이것이 부등식과 방정식의 가장 큰 차이점입니다.
3. 일차부등식 풀기
일차부등식은 $ax + b > 0$ 꼴(또는 $<$, $\leq$, $\geq$)로 나타낼 수 있는 부등식입니다.
일차부등식 풀이 순서
- 괄호가 있으면 분배법칙으로 풀기
- 분수나 소수가 있으면 정수 계수로 변환
- 우변의 $x$항을 좌변으로, 좌변의 상수항을 우변으로 이항
- 동류항 정리
- 양변을 $x$의 계수로 나누기 (음수면 부등호 방향 바꾸기)
- 수직선 위에 해를 나타내기
예제 2: 기본 일차부등식
(1) $2x - 3 > 5$를 풀어라.
4
(열린 점 ○은 4를 포함하지 않음)
(2) $-3x + 6 \leq 0$을 풀어라.
2
(닫힌 점 ●은 2를 포함함)
예제 3: 이항을 포함한 일차부등식
$3x - 7 \geq x + 1$을 풀어라.
해: $x \geq 4$
4. 복잡한 일차부등식
예제 4: 괄호가 있는 부등식
$2(x + 3) - 4 > 3(x - 1)$을 풀어라.
해: $x < 5$
예제 5: 분수가 있는 부등식
$\dfrac{x-1}{3} \leq \dfrac{2x+1}{2}$를 풀어라.
해: $x \geq -\dfrac{5}{4}$
예제 6: 소수가 있는 부등식
$0.3x - 1.2 < 0.1x + 0.4$를 풀어라.
해: $x < 8$
5. 연립부등식
연립부등식은 두 개의 부등식을 한꺼번에 묶어 놓은 것으로, 두 부등식을 동시에 만족하는 $x$의 범위(공통 범위)를 구합니다.
연립부등식의 풀이
- 각 부등식을 따로 풉니다.
- 두 해의 범위를 수직선 위에 나타냅니다.
- 두 범위가 겹치는 공통 부분을 찾습니다.
공통 범위는 두 부등식을 동시에 만족하는 $x$의 범위입니다.
예제 7: 연립부등식
$\begin{cases} 2x - 1 < 5 \\ x + 3 \geq 2 \end{cases}$를 풀어라.
풀이
①번 부등식: $2x - 1 < 5$
$2x < 6$, $x < 3$
②번 부등식: $x + 3 \geq 2$
$x \geq -1$
수직선 위 공통 범위:
②: ●===> (x ≥ -1)
공통: ●====<○ (-1 ≤ x < 3)
-1 3
해: $-1 \leq x < 3$
예제 8: 연립부등식 (공통 범위 없는 경우)
$\begin{cases} x > 5 \\ x \leq 2 \end{cases}$를 풀어라.
풀이
$x > 5$이면서 동시에 $x \leq 2$인 수는 없습니다.
해: 해 없음 (공통 범위가 없음)
연립부등식 공통 범위 정리
| 부등식 ① | 부등식 ② | 공통 범위 |
|---|---|---|
| $x < a$ | $x > b$ ($b < a$) | $b < x < a$ |
| $x > a$ | $x < b$ ($a < b$) | $a < x < b$ |
| $x > a$ | $x > b$ ($a < b$) | $x > b$ |
| $x < a$ | $x < b$ ($a < b$) | $x < a$ |
| $x > a$ | $x < b$ ($b < a$) | 해 없음 |
6. 부등식의 활용
일상생활의 문제를 부등식으로 나타내어 풀 수 있습니다.
활용 문제 풀이 순서
- 구하려는 것을 $x$로 놓는다.
- 문제의 조건을 부등식으로 세운다.
- 부등식을 풀어 $x$의 범위를 구한다.
- 구한 범위가 문제의 조건(자연수, 양수 등)에 맞는지 확인한다.
- 답을 쓴다.
예제 9: 개수 문제
한 개에 500원인 사탕을 몇 개 사고 싶은데, 총 금액이 3000원 이하가 되어야 한다. 최대 몇 개까지 살 수 있는가?
풀이
사탕의 수를 $x$개라 하면:
$$500x \leq 3000$$ $$x \leq 6$$$x$는 자연수이므로 $x$는 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나.
답: 최대 6개
예제 10: 평균 문제
수학 시험을 5번 보았다. 처음 4번의 점수가 78, 85, 90, 76점이었다. 5번째 시험에서 몇 점 이상을 받아야 평균이 84점 이상이 되는가?
풀이
5번째 시험 점수를 $x$점이라 하면:
$$\frac{78 + 85 + 90 + 76 + x}{5} \geq 84$$ $$\frac{329 + x}{5} \geq 84$$ $$329 + x \geq 420$$ $$x \geq 91$$답: 91점 이상을 받아야 합니다.
예제 11: 거리 문제
집에서 학교까지 시속 3 km로 걸어가면 30분이 넘게 걸린다. 집에서 학교까지의 거리는 몇 km보다 먼가?
풀이
거리를 $d$ km라 하면 (속력 = 거리/시간, 시간 = 거리/속력):
$$\frac{d}{3} > \frac{30}{60} = \frac{1}{2} \text{ (시간)}$$ $$d > \frac{3}{2} = 1.5$$답: 집에서 학교까지의 거리는 $1.5$ km보다 멉니다.
예제 12: 가격 비교 문제
A 마트에서는 세제 1통에 3000원이고, B 마트에서는 3통 사면 1통을 무료로 준다. B 마트의 정가는 1통에 4000원이다. 몇 통 이상 살 때 B 마트가 더 유리한가? (4의 배수로 구입)
풀이
4통 단위 구입 횟수를 $n$이라 하면 ($4n$통 구입, $n$통 무료):
A 마트: $3000 \times 4n$원 B 마트: $4000 \times 3n$원 (3통 구입 시 1통 무료)
B 마트가 유리하려면:
$$4000 \times 3n < 3000 \times 4n$$ $$12000n < 12000n$$이 경우 정확히 같으므로, 간단히:
1통당 B 마트 실제 가격: $\dfrac{4000 \times 3}{4} = 3000$원으로 동일합니다.
(이 문제는 두 마트의 가격이 같은 특수한 경우입니다. 실제 문제에서는 가격 차이가 있도록 설정됩니다.)
부등식 관련 핵심 정리
| 구분 | 방정식 | 부등식 |
|---|---|---|
| 기호 | $=$ (등호) | $<, >, \leq, \geq$ (부등호) |
| 덧셈·뺄셈 | 등호 변화 없음 | 부등호 방향 변화 없음 |
| 양수 곱·나눗셈 | 등호 변화 없음 | 부등호 방향 변화 없음 |
| 음수 곱·나눗셈 | 등호 변화 없음 | 부등호 방향 바뀜! |
| 해의 형태 | 특정 값 (예: $x = 3$) | 범위 (예: $x > 3$, $x \leq 5$) |
연습 문제
연습 문제
- 다음 부등식을 풀어라.
(1) $4x + 3 > 11$ (2) $-2x + 5 \leq 1$ (3) $5x - 3 \geq 2x + 9$ - 다음 부등식을 풀어라. (괄호·분수 포함)
(1) $3(x - 2) < 2(x + 1)$ (2) $\dfrac{x+1}{2} > \dfrac{2x-1}{3}$ - 다음 연립부등식을 풀어라.
(1) $\begin{cases} 3x - 2 > 4 \\ 2x + 1 \leq 9 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x - 5 < -1 \\ 2x + 3 > 5 \end{cases}$ - 어떤 자연수에 5를 더한 후 3배 하면 30보다 크다. 이 조건을 만족하는 가장 작은 자연수를 구하시오.
- 원가가 2000원인 물건에 $x$ %의 이익을 붙여 팔아 이익이 600원 이상이 되려면 $x$는 얼마 이상이어야 하는가?
- 연속하는 세 자연수의 합이 24 이상 33 미만일 때, 가장 작은 수가 될 수 있는 자연수를 모두 구하시오.
정답 보기
- (1) $4x > 8$, $x > 2$ (2) $-2x \leq -4$, $x \geq 2$ (3) $3x \geq 12$, $x \geq 4$
- (1) $3x - 6 < 2x + 2$, $x < 8$ (2) $3(x+1) > 2(2x-1)$, $3x+3 > 4x-2$, $-x > -5$, $x < 5$
- (1) ①: $3x > 6$, $x > 2$ ②: $2x \leq 8$, $x \leq 4$ 공통: $2 < x \leq 4$
(2) ①: $x < 4$ ②: $2x > 2$, $x > 1$ 공통: $1 < x < 4$ - 자연수를 $n$이라 하면 $3(n+5) > 30$, $3n > 15$, $n > 5$. 가장 작은 자연수는 $n = 6$
- 이익: $2000 \times \frac{x}{100} \geq 600$, $20x \geq 600$, $x \geq 30$. 따라서 30% 이상
- 가장 작은 수를 $n$이라 하면 세 자연수: $n, n+1, n+2$
$24 \leq 3n+3 < 33$, $21 \leq 3n < 30$, $7 \leq n < 10$
$n = 7, 8, 9$