삼각함수 배각공식과 반각공식

사인 배각공식 유도:

덧셈정리 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$에서 $\alpha = \beta = \theta$를 대입하면:

$$\sin(2\theta) = \sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$

코사인 배각공식 유도:

덧셈정리 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$에서 $\alpha = \beta = \theta$를 대입하면:

$$\cos(2\theta) = \cos(\theta + \theta) = \cos\theta\cos\theta - \sin\theta\sin\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$

삼각함수의 기본 항등식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용하면:

• $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$를 대입하면: $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$
• $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$를 대입하면: $\cos(2\theta) = (1 - \sin^2\theta) - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$

탄젠트 배각공식 유도:

$\tan(2\theta) = \frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)}$에 배각공식을 대입하면:

$$\tan(2\theta) = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta - \sin^2\theta}$$

분자와 분모를 $\cos^2\theta$로 나누면:

$$\tan(2\theta) = \frac{2\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{1 - \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}} = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$$

사인 반각공식 유도:

코사인 배각공식 $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$에서 $\alpha = \frac{\theta}{2}$를 대입하면:

$$\cos\theta = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

이를 정리하면:

$$2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \cos\theta$$ $$\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{2}$$ $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$$

코사인 반각공식 유도:

코사인 배각공식 $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$에서 $\alpha = \frac{\theta}{2}$를 대입하면:

$$\cos\theta = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) - 1$$

이를 정리하면:

$$2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 + \cos\theta$$ $$\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos\theta}{2}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$$

탄젠트 반각공식 유도:

$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}$에 반각공식을 대입하여 정리하면:

$$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}}{\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}} = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$$

또는 $\sin\theta = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$와 $\cos\theta = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) - 1$을 이용하면:

$$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$$