이차함수
이차함수는 중학교 수학의 꽃입니다. 포물선 모양의 그래프는 야구공의 궤적, 분수대의 물줄기, 위성 안테나까지 실생활 곳곳에 숨어 있습니다. 이 단원에서는 이차함수의 뜻부터 시작해 그래프의 성질, 평행이동, 최댓값과 최솟값, 이차함수의 식 구하기까지 체계적으로 학습합니다.
1. 이차함수의 뜻
정의: 이차함수
$y$가 $x$의 함수이고, $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$, $a$, $b$, $c$는 상수) 꼴로 나타낼 수 있을 때, $y$를 $x$의 이차함수라고 합니다.
- $a \neq 0$ 조건이 반드시 필요합니다. ($a = 0$이면 일차함수)
- 이차함수의 그래프는 포물선(parabola)입니다.
예제 1: 이차함수 판별하기
다음 중 이차함수인 것을 모두 고르시오.
- $y = 3x^2 - 2x + 1$
- $y = 2x + 5$
- $y = x^2 - x^2 + 4x = 4x$
- $y = -\frac{1}{2}x^2$
- $y = (x+1)^2 - x^2 = 2x + 1$
풀이
- (a): $y = 3x^2 - 2x + 1$ → $a = 3 \neq 0$ ✅ 이차함수
- (b): $y = 2x + 5$ → 최고차항이 1차 → 일차함수 ❌
- (c): $x^2$항이 소거되어 $y = 4x$ → 일차함수 ❌
- (d): $y = -\frac{1}{2}x^2$ → $a = -\frac{1}{2} \neq 0$ ✅ 이차함수
- (e): 전개하면 $y = 2x+1$ → 일차함수 ❌
답: (a), (d)
2. $y = ax^2$의 그래프
가장 기본적인 이차함수 $y = ax^2$의 그래프를 먼저 이해해야 합니다.
$y = ax^2$ 그래프의 성질
- 꼭짓점: 원점 $(0, 0)$
- 축의 방정식: $y$축, 즉 $x = 0$
- $a > 0$이면 아래로 볼록 (위로 열림, ∪ 모양)
- $a < 0$이면 위로 볼록 (아래로 열림, ∩ 모양)
- $|a|$가 클수록 그래프가 폭이 좁아지고, 작을수록 폭이 넓어짐
- $y$축에 대해 대칭
$|a|$가 클수록 좁아지고, $a < 0$이면 뒤집힌다
예제 2: $y = 3x^2$ 그래프의 성질
$y = 3x^2$의 그래프에 대하여 다음을 구하시오.
- 꼭짓점의 좌표
- 축의 방정식
- 볼록 방향
- $y = x^2$와 비교하여 폭의 차이
풀이
- 꼭짓점: $(0, 0)$
- 축의 방정식: $x = 0$ ($y$축)
- $a = 3 > 0$이므로 아래로 볼록
- $|3| > |1|$이므로 $y = x^2$보다 폭이 좁다
3. $y = ax^2 + q$: 위아래 이동
$y = ax^2 + q$ 그래프의 성질
$y = ax^2$의 그래프를 $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것입니다.
- 꼭짓점: $(0, q)$
- 축의 방정식: $x = 0$
- $q > 0$이면 위로 $q$만큼 이동
- $q < 0$이면 아래로 $|q|$만큼 이동
예제 3: $y = 2x^2 - 3$의 그래프
$y = 2x^2 - 3$의 꼭짓점과 축의 방정식을 구하고, $y = 2x^2$과의 관계를 설명하시오.
풀이
- 꼭짓점: $(0, -3)$
- 축의 방정식: $x = 0$
- $y = 2x^2$의 그래프를 아래로 3만큼 평행이동한 그래프
$x = 1$을 대입하면 $y = 2(1)^2 - 3 = -1$이므로 점 $(1, -1)$을 지납니다.
4. $y = a(x-p)^2$: 좌우 이동
$y = a(x-p)^2$ 그래프의 성질
$y = ax^2$의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$만큼 평행이동한 것입니다.
- 꼭짓점: $(p, 0)$
- 축의 방정식: $x = p$
- $p > 0$이면 오른쪽으로 $p$만큼 이동
- $p < 0$이면 왼쪽으로 $|p|$만큼 이동
⚠️ 자주 하는 실수: 부호 방향!
$y = a(x - p)^2$에서 꼭짓점의 $x$좌표는 $+p$입니다. 부호를 반대로 착각하지 마세요!
- $y = (x - 3)^2$ → 꼭짓점 $(3, 0)$ ✅
- $y = (x + 2)^2 = (x - (-2))^2$ → 꼭짓점 $(-2, 0)$ ✅
- $y = (x + 2)^2$인데 꼭짓점이 $(2, 0)$이라고 착각 ❌
예제 4: $y = -(x+1)^2$의 그래프
$y = -(x+1)^2$의 꼭짓점, 축의 방정식, 볼록 방향을 구하시오.
풀이
$y = -(x - (-1))^2$으로 보면:
- 꼭짓점: $(-1, 0)$
- 축의 방정식: $x = -1$
- $a = -1 < 0$이므로 위로 볼록
- $y = -x^2$의 그래프를 왼쪽으로 1만큼 이동한 것
5. $y = a(x-p)^2 + q$: 완전한 형태
$y = a(x-p)^2 + q$ 그래프의 성질 (종합)
| 항목 | 내용 |
|---|---|
| 꼭짓점 | $(p, q)$ |
| 축의 방정식 | $x = p$ |
| 볼록 방향 | $a > 0$: 아래로 볼록 / $a < 0$: 위로 볼록 |
| 그래프 너비 | $|a|$가 클수록 좁음, 작을수록 넓음 |
| 평행이동 관계 | $y = ax^2$를 $x$축 방향 $p$, $y$축 방향 $q$만큼 이동 |
$y = 2(x-1)^2 + 3$: 꼭짓점 $(1, 3)$, 축 $x=1$, 아래로 볼록
예제 5: $y = -2(x+3)^2 + 5$ 분석
$y = -2(x+3)^2 + 5$의 꼭짓점, 축의 방정식, 볼록 방향, $y$절편을 구하시오.
풀이
- 꼭짓점: $(-3, 5)$ [$p=-3$, $q=5$]
- 축의 방정식: $x = -3$
- $a = -2 < 0$이므로 위로 볼록
- $y$절편: $x = 0$ 대입 → $y = -2(0+3)^2 + 5 = -2(9) + 5 = -18 + 5 = -13$
즉 이 그래프는 $y = -2x^2$을 왼쪽으로 3, 위로 5만큼 이동한 것입니다.
6. 표준형 ↔ 일반형 변환
표준형 (꼭짓점형)
$$y = a(x-p)^2 + q$$
꼭짓점 $(p, q)$를 바로 읽을 수 있음
일반형
$$y = ax^2 + bx + c$$
$x = 0$ 대입 시 $y$절편 $c$를 바로 읽을 수 있음
표준형 → 일반형: 전개
$(x-p)^2$을 전개한 후 정리합니다.
$$y = a(x-p)^2 + q = a(x^2 - 2px + p^2) + q = ax^2 - 2apx + ap^2 + q$$
일반형 → 표준형: 완전제곱식
예제 6: 일반형 → 표준형
$y = 2x^2 - 8x + 5$를 표준형으로 변환하고 꼭짓점을 구하시오.
풀이
$$y = 2x^2 - 8x + 5 = 2(x^2 - 4x) + 5$$
$$= 2\bigl[(x-2)^2 - 4\bigr] + 5 = 2(x-2)^2 - 8 + 5$$
$$= 2(x-2)^2 - 3$$
꼭짓점: $(2, -3)$, 축의 방정식: $x = 2$
빠른 계산: 꼭짓점 $x$좌표 공식
$y = ax^2 + bx + c$에서 꼭짓점의 $x$좌표는:
$$x = -\frac{b}{2a}$$예제 6에서 $a=2$, $b=-8$: $x = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$ ✓
7. 최댓값과 최솟값
이차함수의 최댓값·최솟값
$y = a(x-p)^2 + q$에서:
| $a$의 부호 | 모양 | 꼭짓점에서 | 최솟값/최댓값 |
|---|---|---|---|
| $a > 0$ (∪) | 아래로 볼록 | 최솟값 | $x = p$일 때 최솟값 $q$ |
| $a < 0$ (∩) | 위로 볼록 | 최댓값 | $x = p$일 때 최댓값 $q$ |
※ 정의역(범위)이 없을 때: 아래로 볼록이면 최솟값은 있지만 최댓값은 없고, 위로 볼록이면 최댓값은 있지만 최솟값이 없습니다.
예제 7: 최솟값 구하기
$y = 3x^2 - 6x + 7$의 최솟값을 구하시오.
풀이
표준형으로 변환:
$$y = 3(x^2 - 2x) + 7 = 3[(x-1)^2 - 1] + 7 = 3(x-1)^2 + 4$$$a = 3 > 0$이므로 아래로 볼록 → $x = 1$일 때 최솟값 $4$
예제 8: 최댓값과 그 때의 $x$값
$y = -x^2 + 4x - 1$의 최댓값과 그 때의 $x$의 값을 구하시오.
풀이
$$y = -(x^2 - 4x) - 1 = -[(x-2)^2 - 4] - 1 = -(x-2)^2 + 3$$$a = -1 < 0$이므로 위로 볼록 → $x = 2$일 때 최댓값 $3$
8. 이차함수의 식 구하기
상황별 식 구하기 전략
| 주어진 조건 | 기본 형태 | 미지수 수 |
|---|---|---|
| 꼭짓점 + 한 점 | $y = a(x-p)^2 + q$ | $a$ 하나 |
| 축 + 두 점 | $y = a(x-p)^2 + q$ (축에서 $p$ 결정) | $a$, $q$ |
| $x$절편 두 개 + 한 점 | $y = a(x-\alpha)(x-\beta)$ | $a$ 하나 |
| 세 점 | $y = ax^2 + bx + c$ | $a$, $b$, $c$ |
예제 9: 꼭짓점과 한 점이 주어질 때
꼭짓점이 $(2, -1)$이고 점 $(0, 7)$을 지나는 이차함수의 식을 구하시오.
풀이
꼭짓점이 $(2, -1)$이므로 $y = a(x-2)^2 - 1$로 놓는다.
점 $(0, 7)$을 대입: $7 = a(0-2)^2 - 1 = 4a - 1$
$4a = 8$ → $a = 2$
답: $y = 2(x-2)^2 - 1$
예제 10: $x$절편 두 개와 한 점이 주어질 때
$x$절편이 $-1$, $3$이고 점 $(1, -8)$을 지나는 이차함수의 식을 구하시오.
풀이
$x$절편이 $-1$, $3$이므로 $y = a(x+1)(x-3)$으로 놓는다.
점 $(1, -8)$을 대입: $-8 = a(1+1)(1-3) = a(2)(-2) = -4a$
$a = 2$
$y = 2(x+1)(x-3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$
답: $y = 2x^2 - 4x - 6$
9. 실생활 활용
이차함수는 물체의 운동, 넓이 최적화, 수익 극대화 등 다양한 실생활 문제에 쓰입니다.
예제 11: 포물선 운동 (야구공)
공을 던졌을 때 높이 $y$(m)와 수평 거리 $x$(m)의 관계가 $y = -\frac{1}{5}x^2 + 2x + 1$로 주어졌다. 공이 가장 높이 올라갔을 때의 높이와 그 때의 수평 거리를 구하시오.
풀이
$$y = -\frac{1}{5}(x^2 - 10x) + 1 = -\frac{1}{5}[(x-5)^2 - 25] + 1 = -\frac{1}{5}(x-5)^2 + 6$$꼭짓점: $(5, 6)$ → 수평 거리 $5$ m일 때 최대 높이 $6$ m
예제 12: 최대 넓이 구하기
둘레의 길이가 40 cm인 직사각형의 넓이가 최대일 때, 가로와 세로의 길이를 구하시오.
풀이
가로를 $x$ cm로 놓으면 세로는 $(20 - x)$ cm
넓이 $S = x(20-x) = -x^2 + 20x = -(x-10)^2 + 100$
$x = 10$일 때 최대 넓이 $100$ cm² → 가로 = 세로 = $10$ cm
결론
둘레가 일정할 때 넓이가 최대인 직사각형은 정사각형입니다.
연습 문제
연습 문제 (중간·기말 대비)
- $y = -3x^2 + 12x - 7$을 표준형으로 변환하고 꼭짓점을 구하시오.
- 이차함수 $y = a(x-2)^2 + 3$이 점 $(4, 11)$을 지날 때, $a$의 값을 구하시오.
- $x$절편이 $-2$, $4$이고 $y$절편이 $-8$인 이차함수의 식을 구하시오.
- $y = 2x^2 - 8x + k$의 최솟값이 3일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.
- 지면에서 공을 위로 던졌을 때 $t$초 후 높이가 $h = -5t^2 + 20t$ (m)이다. 공이 최대 높이에 도달하는 시간(초)과 최대 높이(m)를 각각 구하시오.
정답 및 풀이 보기
- $y = -3(x^2 - 4x) - 7 = -3[(x-2)^2 - 4] - 7 = -3(x-2)^2 + 5$
꼭짓점: $(2, 5)$ - $11 = a(4-2)^2 + 3 = 4a + 3$ → $4a = 8$ → $\boxed{a = 2}$
- $y = a(x+2)(x-4)$, $x=0$: $-8 = a(2)(-4) = -8a$ → $a=1$
$\boxed{y = (x+2)(x-4) = x^2 - 2x - 8}$ - $y = 2(x^2 - 4x) + k = 2(x-2)^2 - 8 + k$
최솟값 $= -8 + k = 3$ → $\boxed{k = 11}$ - $h = -5(t^2 - 4t) = -5(t-2)^2 + 20$
$t = 2$초일 때 최대 높이 $\boxed{20 \text{ m}}$
핵심 정리
이 단원에서 반드시 외워야 할 것
- 꼭짓점: $y = a(x-p)^2 + q$ → 꼭짓점 $(p, q)$
- 축의 방정식: $x = p$ (꼭짓점의 $x$좌표)
- 볼록 방향: $a > 0$ → 아래로 볼록(∪), $a < 0$ → 위로 볼록(∩)
- 꼭짓점 공식: $y = ax^2 + bx + c$에서 $x = -\dfrac{b}{2a}$
- 최솟값/최댓값: 꼭짓점의 $y$좌표 $q$
- 식 구하기: 꼭짓점 주어지면 $y=a(x-p)^2+q$, 두 $x$절편 주어지면 $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$