Trigonométrie
📋 Table des matières
1. Rapports trigonométriques dans un triangle rectangle Sec 4
Dans un triangle rectangle, les trois rapports trigonométriques de base mettent en relation un angle aigu $\theta$ et les longueurs des côtés du triangle.
📐 Définitions — SOH-CAH-TOA
Soit un triangle rectangle avec un angle aigu $\theta$, un côté opposé à $\theta$, un côté adjacent à $\theta$ et l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit) :
$$\sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$$Moyen mnémotechnique : SOH — CAH — TOA
Sin = Opposé / Hypoténuse |
Cos = Adjacent / Hypoténuse |
Tan = Opposé / Adjacent
Déplacez le curseur θ pour voir le point $(\cos\theta, \sin\theta)$ sur le cercle unité et visualiser les rapports trigonométriques. La ligne rouge montre le côté opposé ($\sin\theta$) et la ligne verte le côté adjacent ($\cos\theta$).
TRIG·1Figure 1 — Cercle unité et rapports trigonométriques
Angles particuliers — Valeurs exactes
Ces valeurs apparaissent fréquemment dans les examens et doivent être mémorisées :
| Angle $\theta$ | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30°$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $45°$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60°$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90°$ | $1$ | $0$ | indéfini |
📖 Exemple 1 — Trouver sin, cos, tan à partir des côtés (triangle 3-4-5)
Un triangle rectangle a des côtés de longueur $3$, $4$ et $5$. L'angle $\theta$ est adjacent au côté de longueur $4$ et opposé au côté de longueur $3$. Trouver $\sin\theta$, $\cos\theta$ et $\tan\theta$.
Côté opposé $= 3$, côté adjacent $= 4$, hypoténuse $= 5$.
$$\sin\theta = \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \cos\theta = \frac{4}{5} = 0{,}8 \qquad \tan\theta = \frac{3}{4} = 0{,}75$$📖 Exemple 2 — Trouver un côté manquant
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure $10$ cm et un angle aigu vaut $35°$. Trouver la longueur du côté opposé à cet angle.
On connaît l'hypoténuse et on cherche le côté opposé, donc on utilise $\sin$ :
$$\sin 35° = \frac{\text{opposé}}{10}$$ $$\text{opposé} = 10 \times \sin 35° \approx 10 \times 0{,}5736 \approx 5{,}74 \text{ cm}$$📖 Exemple 3 — Trouver un angle à partir des côtés
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à $\theta$ mesure $6$ cm et le côté adjacent mesure $8$ cm. Trouver $\theta$.
On utilise $\tan$ puis la fonction inverse :
$$\tan\theta = \frac{6}{8} = 0{,}75$$ $$\theta = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87° \approx 36°52'$$📝 Exercices — Rapports trigonométriques Sec 4
- Un triangle rectangle a des côtés de longueur $5$, $12$ et $13$. L'angle $\theta$ est opposé au côté $12$. Trouver $\sin\theta$, $\cos\theta$ et $\tan\theta$.
- Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse vaut $20$ cm et un angle aigu vaut $42°$. Trouver la longueur du côté adjacent à cet angle.
- Un poteau vertical de $8$ m de haut projette une ombre de $6$ m sur le sol horizontal. Trouver l'angle d'élévation du soleil (arrondir au degré).
- Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à $\theta$ est $9$ cm et l'hypoténuse est $15$ cm. Trouver $\theta$.
- Un triangle rectangle a un angle de $58°$ et le côté adjacent à cet angle vaut $7{,}5$ cm. Trouver le côté opposé et l'hypoténuse.
- Vérifier que le triangle avec côtés $\sin 30° \times 2$, $\cos 30° \times 2$ et $2$ est bien rectangle.
Voir les solutions — Exercices Section 1
2. Cercle trigonométrique Sec 5
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon $1$ centré à l'origine du plan cartésien. Il permet de définir les fonctions trigonométriques pour tous les angles réels, pas seulement les angles aigus.
📐 Définition — Cercle unitaire
Pour un angle $\theta$ en position standard (sommet à l'origine, côté initial sur l'axe positif des $x$), le point $P$ où le côté terminal coupe le cercle unitaire a pour coordonnées :
$$P = (\cos\theta,\ \sin\theta)$$Ainsi : $\cos\theta = x$-coordonnée du point $P$ $\sin\theta = y$-coordonnée du point $P$
Triangle rectangle — ajustez r (hypoténuse) et θ (angle). La base vaut $r\cos\theta$, la hauteur $r\sin\theta$. Le sommet de l'angle est à $(0,0)$ ; le bout de l'hypoténuse est en $(r\cos\theta,\, r\sin\theta)$.
TRIG·2Figure 2 — Triangle rectangle et rapports trigonométriques
Règle ASTC — Signe des fonctions par quadrant
La règle ASTC (ou « Après Soirée, Tu Crois ») indique quelle(s) fonction(s) sont positives dans chaque quadrant :
Quadrant I (0° à 90°)
A — All : sin, cos et tan sont tous positifs.
$\sin\theta > 0$, $\cos\theta > 0$, $\tan\theta > 0$
Quadrant II (90° à 180°)
S — Sin : seulement $\sin$ est positif.
$\sin\theta > 0$, $\cos\theta < 0$, $\tan\theta < 0$
Quadrant III (180° à 270°)
T — Tan : seulement $\tan$ est positif.
$\sin\theta < 0$, $\cos\theta < 0$, $\tan\theta > 0$
Quadrant IV (270° à 360°)
C — Cos : seulement $\cos$ est positif.
$\sin\theta < 0$, $\cos\theta > 0$, $\tan\theta < 0$
📐 Angle de référence
L'angle de référence $\alpha$ d'un angle $\theta$ est l'angle aigu (entre $0°$ et $90°$) formé par le côté terminal de $\theta$ et l'axe des $x$.
- Q I : $\alpha = \theta$
- Q II : $\alpha = 180° - \theta$
- Q III : $\alpha = \theta - 180°$
- Q IV : $\alpha = 360° - \theta$
Les valeurs absolues des fonctions trigonométriques d'un angle égalent celles de son angle de référence. Le signe dépend du quadrant (ASTC).
📖 Exemple 4 — Valeurs exactes par angle de référence
Trouver les valeurs exactes de $\sin 150°$, $\cos 240°$ et $\tan 315°$.
$\sin 150°$ : $150°$ est en Q II, angle de référence $= 180° - 150° = 30°$. En Q II, sin est positif.
$$\sin 150° = +\sin 30° = \frac{1}{2}$$$\cos 240°$ : $240°$ est en Q III, angle de référence $= 240° - 180° = 60°$. En Q III, cos est négatif.
$$\cos 240° = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$$$\tan 315°$ : $315°$ est en Q IV, angle de référence $= 360° - 315° = 45°$. En Q IV, tan est négatif.
$$\tan 315° = -\tan 45° = -1$$📖 Exemple 5 — Trouver tous les angles pour une valeur donnée
Trouver tous les angles $\theta \in [0°, 360°]$ tels que $\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
L'angle de référence tel que $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est $\alpha = 45°$.
$\sin\theta < 0$ dans les quadrants III et IV.
- Q III : $\theta = 180° + 45° = 225°$
- Q IV : $\theta = 360° - 45° = 315°$
Les solutions sont $\theta = 225°$ et $\theta = 315°$.
📝 Exercices — Cercle trigonométrique Sec 5
- Indiquer dans quel quadrant se trouve chacun des angles : $110°$, $200°$, $340°$, $95°$.
- Trouver les valeurs exactes de $\sin 300°$, $\cos 135°$ et $\tan 210°$.
- Trouver l'angle de référence de chacun des angles suivants : $160°$, $250°$, $305°$.
- Trouver tous les angles $\theta \in [0°, 360°]$ tels que $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$.
- Trouver tous les angles $\theta \in [0°, 360°]$ tels que $\tan\theta = \sqrt{3}$.
Voir les solutions — Exercices Section 2
$\sin 300°$ : Q IV, réf. $60°$, sin négatif → $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 135°$ : Q II, réf. $45°$, cos négatif → $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan 210°$ : Q III, réf. $30°$, tan positif → $+\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
3. Relations trigonométriques fondamentales Sec 5
Les identités trigonométriques sont des équations vraies pour toutes les valeurs de l'angle. Elles permettent de simplifier des expressions et de résoudre des équations complexes.
✨ Identité pythagoricienne fondamentale
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$Formes dérivées :
$$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \qquad \qquad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$$✨ Identités de symétrie
$$\sin(-\theta) = -\sin\theta \quad \text{(fonction impaire)} \qquad \cos(-\theta) = \cos\theta \quad \text{(fonction paire)}$$ $$\tan(-\theta) = -\tan\theta$$💡 Dérivation de l'identité pythagoricienne
Sur le cercle unitaire, un point $P = (\cos\theta, \sin\theta)$ satisfait l'équation du cercle $x^2 + y^2 = 1$. En substituant $x = \cos\theta$ et $y = \sin\theta$, on obtient directement $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
📖 Exemple 6 — Simplifier une expression trigonométrique
Simplifier l'expression : $\dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\cos\theta} - \cos\theta$
📖 Exemple 7 — Trouver les autres rapports à partir d'un seul
Si $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ et $\theta$ est en Q II, trouver $\cos\theta$ et $\tan\theta$.
En utilisant $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ :
$$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$Puisque $\theta$ est en Q II, $\cos\theta < 0$, donc $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$.
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$📝 Exercices — Identités trigonométriques Sec 5
- Si $\cos\theta = -\dfrac{5}{13}$ et $\theta$ est en Q III, trouver $\sin\theta$ et $\tan\theta$.
- Simplifier : $(1 - \sin^2\theta)(1 + \tan^2\theta)$
- Prouver que $\dfrac{\cos\theta}{1 - \sin\theta} = \dfrac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$
- Si $\tan\theta = -\dfrac{7}{24}$ et $\cos\theta > 0$, trouver $\sin\theta$ et $\cos\theta$.
Voir les solutions — Exercices Section 3
4. Loi des sinus Sec 5
La loi des sinus permet de résoudre des triangles quelconques (non nécessairement rectangles) lorsque l'on connaît certaines combinaisons de côtés et d'angles.
✨ Loi des sinus
Dans un triangle $ABC$ où $a$, $b$, $c$ sont les côtés opposés respectivement aux angles $A$, $B$, $C$, et $R$ est le rayon de l'cercle circonscrit :
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$Cette loi est aussi valide sous la forme inverse : $\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c}$
Loi des sinus — ajustez les angles A, B et le côté a. Le triangle $ABC$ se met à jour en temps réel, avec ses côtés $a$, $b$, $c$ et le cercle circonscrit de rayon $R = \dfrac{a}{2\sin A}$.
TRIG·3Figure 3 — Loi des sinus et cercle circonscrit
Quand utiliser la loi des sinus ?
- AAS : deux angles + un côté non inclus
- ASA : deux angles + le côté inclus
- SSA : deux côtés + un angle non inclus (cas ambigu)
Quand NE PAS utiliser ?
- SAS : deux côtés + l'angle inclus → loi des cosinus
- SSS : trois côtés connus → loi des cosinus
⚠️ Cas ambigu (SSA)
Lorsqu'on connaît deux côtés et l'angle non inclus (SSA), il peut y avoir 0, 1 ou 2 triangles possibles. Soit le côté $a$ opposé à l'angle $A$ et le côté $b$ :
- Si $A \geq 90°$ : un seul triangle si $a > b$, aucun si $a \leq b$.
- Si $A < 90°$ : soit $h = b\sin A$ (hauteur depuis $B$)
- $a < h$ → aucun triangle
- $a = h$ → un triangle (rectangle)
- $h < a < b$ → deux triangles
- $a \geq b$ → un triangle
📖 Exemple 8 — Cas AAS
Dans le triangle $ABC$, $A = 42°$, $B = 73°$ et $a = 15$. Trouver $b$ et $c$.
📖 Exemple 9 — Cas ASA
Dans le triangle $ABC$, $A = 55°$, $C = 48°$ et $b = 22$. Trouver $a$ et $c$.
📖 Exemple 10 — Cas ambigu (SSA)
Dans le triangle $ABC$, $A = 38°$, $a = 10$ et $b = 14$. Combien de triangles sont possibles ?
📝 Exercices — Loi des sinus Sec 5
- (AAS) Dans le triangle $ABC$, $A = 35°$, $B = 82°$ et $a = 12$. Trouver $b$ et $c$.
- (ASA) Dans le triangle $PQR$, $P = 60°$, $R = 48°$ et $q = 30$. Trouver $p$ et $r$.
- (SSA — cas ambigu) $A = 25°$, $a = 8$, $b = 15$. Déterminer combien de triangles sont possibles et les résoudre.
- (SSA) $A = 110°$, $a = 20$, $b = 14$. Combien de triangles sont possibles ?
- Un arpenteur-géomètre doit calculer la distance entre deux points $A$ et $B$ de part et d'autre d'un lac. À partir d'un point $C$, il mesure $\angle ACB = 54°$, $CA = 130$ m et $\angle CAB = 85°$. Trouver $AB$.
Voir les solutions — Exercices Section 4
$\sin B = \dfrac{15\sin 25°}{8} \approx 0{,}7924$ → $B_1 \approx 52{,}4°$, $C_1 \approx 102{,}6°$, $c_1 \approx \dfrac{8\sin 102{,}6°}{\sin 25°} \approx 18{,}52$.
$B_2 \approx 127{,}6°$, $C_2 \approx 27{,}4°$, $c_2 \approx \dfrac{8\sin 27{,}4°}{\sin 25°} \approx 8{,}68$.
5. Loi des cosinus Sec 5
La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore aux triangles quelconques. Elle est indispensable lorsque deux côtés et l'angle inclus sont connus (SAS) ou lorsque les trois côtés sont connus (SSS).
✨ Loi des cosinus
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$Formes équivalentes (en isolant chaque côté) :
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$Pour trouver un angle connaissant les trois côtés :
$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \qquad \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$Loi des cosinus — ajustez les côtés b (AC), c (AB) et l'angle A entre eux (cas SAS). Le côté opposé $a = \sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$ se recalcule en temps réel.
TRIG·4Figure 4 — Loi des cosinus
💡 Connexion avec Pythagore
Si $C = 90°$, alors $\cos 90° = 0$ et la loi des cosinus devient $c^2 = a^2 + b^2$, ce qui correspond exactement au théorème de Pythagore. La loi des cosinus est donc une extension du théorème de Pythagore à tous les triangles.
📖 Exemple 11 — Cas SAS (trouver un côté)
Dans le triangle $ABC$, $a = 8$, $b = 11$ et $C = 62°$. Trouver $c$.
📖 Exemple 12 — Cas SSS (trouver un angle)
Dans le triangle $ABC$, $a = 7$, $b = 10$ et $c = 13$. Trouver l'angle $C$ (opposé au plus grand côté).
📖 Exemple 13 — Résolution complète d'un triangle (SAS)
Dans le triangle $ABC$, $b = 6$, $c = 9$ et $A = 107°$. Résoudre complètement le triangle.
📝 Exercices — Loi des cosinus Sec 5
- (SAS) Dans le triangle $ABC$, $a = 5$, $c = 8$ et $B = 75°$. Trouver $b$.
- (SSS) Dans le triangle $PQR$, $p = 6$, $q = 8$, $r = 10$. Trouver les trois angles.
- (SAS) $b = 15$, $c = 20$ et $A = 30°$. Résoudre complètement le triangle.
- Un parallelogramme a des côtés de $12$ cm et $18$ cm, et un angle de $65°$. Trouver la longueur de chaque diagonale.
- (SSS) Un triangle a des côtés de $9$, $12$ et $15$. Vérifier que ce triangle est rectangle, puis trouver les trois angles exactement.
Voir les solutions — Exercices Section 5
Diagonale 2 (angle $115°$) : $d_2^2 = 468 - 432\cos 115° \approx 468 + 182{,}5 \approx 650{,}5$ → $d_2 \approx 25{,}5$ cm.
6. Applications — Résolution de triangles Sec 5
La résolution de triangles consiste à trouver tous les éléments inconnus d'un triangle à partir des éléments connus. Dans les problèmes concrets, il faut d'abord identifier les données et choisir la bonne loi.
💡 Stratégie de résolution — Choisir la bonne loi
| Données connues | Type | Loi à utiliser |
|---|---|---|
| 2 angles + 1 côté quelconque | AAS ou ASA | Loi des sinus |
| 2 côtés + angle non inclus | SSA | Loi des sinus (cas ambigu) |
| 2 côtés + angle inclus | SAS | Loi des cosinus |
| 3 côtés | SSS | Loi des cosinus |
| Triangle rectangle | — | Rapports SOH-CAH-TOA |
📖 Exemple 14 — Angle d'élévation
Un observateur se trouve à $50$ m de la base d'un édifice. L'angle d'élévation du sommet de l'édifice est de $38°$. Trouver la hauteur de l'édifice.
Triangle rectangle : côté adjacent $= 50$ m, angle $= 38°$, on cherche le côté opposé (hauteur $h$).
$$\tan 38° = \frac{h}{50}$$ $$h = 50 \tan 38° \approx 50 \times 0{,}7813 \approx 39{,}1 \text{ m}$$La hauteur de l'édifice est d'environ $\mathbf{39{,}1}$ m.
📖 Exemple 15 — Navigation (problème de déplacement)
Un navire part du point $A$ et parcourt $15$ km en direction N40°E jusqu'au point $B$, puis $20$ km en direction S60°E jusqu'au point $C$. Trouver la distance directe $AC$.
L'angle $ABC$ entre les deux trajets est calculé à partir des directions : le trajet $AB$ va N40°E (40° à l'est du nord), et $BC$ va S60°E (60° à l'est du sud). L'angle entre N40°E et S60°E est $180° - 40° - 60° = 80°$ (angle supplémentaire intérieur au triangle).
Donc dans le triangle $ABC$, l'angle $B = 180° - 80° = 100°$... En notation standard : $AB = 15$, $BC = 20$ et $\angle ABC = 140°$ (angle entre les vecteurs de déplacement).
Utilisons les directions exactes : $\angle ABC$ intérieur $= 180° - 40° - 60° = 80°$.
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$ $$AC^2 = 15^2 + 20^2 - 2(15)(20)\cos 80° \approx 225 + 400 - 600 \times 0{,}1736 \approx 521{,}8$$ $$AC \approx \sqrt{521{,}8} \approx 22{,}8 \text{ km}$$📖 Exemple 16 — Aire d'un triangle
Trouver l'aire du triangle $ABC$ où $a = 12$ cm, $b = 9$ cm et $C = 50°$.
Formule de l'aire utilisant deux côtés et l'angle inclus :
$$\mathcal{A} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}(12)(9)\sin 50° \approx \frac{1}{2} \times 108 \times 0{,}7660 \approx 41{,}4 \text{ cm}^2$$📝 Exercices — Applications Sec 5
- Du haut d'une falaise de $80$ m, on observe un bateau avec un angle de dépression de $22°$. Quelle est la distance entre la base de la falaise et le bateau (sur l'eau) ?
- Deux rangers dans des tours d'observation $A$ et $B$ (distantes de $8$ km) aperçoivent un feu de forêt $F$. L'angle $\angle FAB = 71°$ et l'angle $\angle FBA = 54°$. Trouver la distance du feu à chaque tour.
- Trouver l'aire du triangle ayant des côtés de $10$ cm, $14$ cm et un angle inclus de $35°$.
- Un terrain triangulaire a des côtés de $80$ m, $120$ m et $150$ m. Trouver l'angle le plus grand et l'aire du terrain.
- Deux bateaux partent du même port. Le premier navigue $30$ km au N20°E. Le second navigue $45$ km à l'est (E). Quelle est la distance entre les deux bateaux ?