Algèbre

Secondaire 1 à 4 — Programme du Québec (PFEQ) — Mise à jour : mars 2026

📋 Table des matières

  1. Expressions algébriques et vocabulaire Sec 1
  2. Polynômes : addition et soustraction Sec 1–2
  3. Multiplication de polynômes Sec 2–3
  4. Factorisation Sec 3–4
  5. Équations du 1er degré Sec 1–2
  6. Systèmes d'équations Sec 3
  7. Inégalités Sec 3–4
  8. Exercices récapitulatifs

1. Expressions algébriques et vocabulaire Sec 1

📖 Définitions clés

Degré d'un terme et d'un polynôme

Le degré d'un terme est la somme des exposants de ses variables. Le degré d'un polynôme est le degré de son terme de plus haut degré.

Expression Type Degré Nombre de termes
$7$ Monôme 0 1
$3x - 5$ Binôme 1 2
$2x^2 + x - 4$ Trinôme 2 3
$x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ Polynôme 3 4

✏️ Exemple 1 — Réduire une expression

Simplifier : $4x^2 + 3x - 7 + x^2 - 5x + 2$

Solution :
1Regrouper les termes semblables : $(4x^2 + x^2) + (3x - 5x) + (-7 + 2)$
2Additionner : $5x^2 - 2x - 5$

⚠️ Erreur fréquente

On ne peut pas additionner des termes non semblables : $3x^2 + 2x \neq 5x^3$. Les exposants doivent être identiques pour combiner les termes.

2. Polynômes : addition et soustraction Sec 1–2

⭐ Règles fondamentales

✏️ Exemple 2 — Addition de polynômes

$(3x^2 - 2x + 5) + (x^2 + 4x - 3)$

Solution :
1Regrouper : $(3x^2 + x^2) + (-2x + 4x) + (5 - 3)$
2Résultat : $4x^2 + 2x + 2$

✏️ Exemple 3 — Soustraction de polynômes

$(5x^2 + 3x - 1) - (2x^2 - x + 4)$

Solution :
1Distribuer le signe $-$ : $5x^2 + 3x - 1 - 2x^2 + x - 4$
2Regrouper : $(5x^2 - 2x^2) + (3x + x) + (-1 - 4)$
3Résultat : $3x^2 + 4x - 5$

3. Multiplication de polynômes Sec 2–3

3.1 Monôme × Polynôme

Distribuer le monôme à chaque terme du polynôme (propriété distributive).

✏️ Exemple 4

$3x(2x^2 - 5x + 4)$

Solution :
1$3x \cdot 2x^2 = 6x^3$
2$3x \cdot (-5x) = -15x^2$
3$3x \cdot 4 = 12x$
4Résultat : $6x^3 - 15x^2 + 12x$

3.2 Binôme × Binôme (méthode FOIL)

📖 Méthode FOIL

Pour $(a + b)(c + d)$, multiplier dans cet ordre :

$$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$

✏️ Exemple 5

$(2x + 3)(x - 5)$

Solution :
F$2x \cdot x = 2x^2$
O$2x \cdot (-5) = -10x$
I$3 \cdot x = 3x$
L$3 \cdot (-5) = -15$
5Combiner : $2x^2 + (-10x + 3x) - 15 = 2x^2 - 7x - 15$

3.3 Identités remarquables

⭐ Trois identités à mémoriser

Carré d'une somme
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Carré d'une différence
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
Différence de carrés
$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$

✏️ Exemple 6 — Identités remarquables

Développer : a) $(3x + 2)^2$    b) $(4x - 1)(4x + 1)$

a)
1$(3x)^2 + 2 \cdot (3x)(2) + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$
b)
1$(4x)^2 - 1^2 = 16x^2 - 1$

4. Factorisation Sec 3–4

Factoriser une expression, c'est la réécrire comme un produit de facteurs. C'est l'opération inverse du développement.

🔹 Méthode 1 — Mise en évidence simple (MES)

Extraire le plus grand facteur commun (PGFC) de tous les termes.

Ex. : $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$

🔹 Méthode 2 — Mise en évidence double (MED)

Regrouper les termes par paires et extraire un facteur commun de chaque groupe.

Ex. : $ax + ay + bx + by = (a+b)(x+y)$

🔹 Méthode 3 — Différence de carrés

Reconnaître $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

Ex. : $x^2 - 25 = (x+5)(x-5)$

🔹 Méthode 4 — Trinôme carré parfait (TCP)

Reconnaître $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$.

Ex. : $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

4.1 Mise en évidence simple (MES)

✏️ Exemple 7

Factoriser : $12x^3 - 8x^2 + 4x$

Solution :
1Trouver le PGFC de $12$, $8$, $4$ : c'est $4$. Le PGFC des variables est $x$. Donc PGFC $= 4x$.
2Diviser chaque terme : $4x(3x^2 - 2x + 1)$
3Vérification : $4x \cdot 3x^2 = 12x^3$ ✓, $4x \cdot (-2x) = -8x^2$ ✓, $4x \cdot 1 = 4x$ ✓

4.2 Factorisation d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ (méthode du produit–somme)

⭐ Méthode produit–somme

Pour factoriser $x^2 + bx + c$, trouver deux nombres $p$ et $q$ tels que :

$$p \times q = c \quad \text{et} \quad p + q = b$$

Alors : $x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$

✏️ Exemple 8 — Trinôme simple ($a = 1$)

Factoriser : $x^2 + 7x + 12$

Solution :
1Chercher $p$ et $q$ tels que $p \times q = 12$ et $p + q = 7$.
2Paires de facteurs de $12$ : $(1,12)$, $(2,6)$, $(3,4)$. La paire $3 + 4 = 7$ ✓
3Résultat : $(x + 3)(x + 4)$

✏️ Exemple 9 — Trinôme avec $a \neq 1$ (méthode de décomposition)

Factoriser : $2x^2 + 7x + 3$

Solution :
1Calculer $a \times c = 2 \times 3 = 6$. Chercher deux nombres dont le produit est $6$ et la somme est $7$ : $1 + 6 = 7$ ✓
2Décomposer le terme $7x$ : $2x^2 + x + 6x + 3$
3Mise en évidence double : $x(2x + 1) + 3(2x + 1)$
4Facteur commun $(2x + 1)$ : $(2x + 1)(x + 3)$

4.3 Différence de carrés et trinôme carré parfait

✏️ Exemple 10 — Différence de carrés

a) $9x^2 - 16$    b) $25x^4 - 1$

a) $(3x)^2 - 4^2 = (3x + 4)(3x - 4)$
b) $(5x^2)^2 - 1^2 = (5x^2 + 1)(5x^2 - 1)$

✏️ Exemple 11 — Trinôme carré parfait

Factoriser : $4x^2 - 20x + 25$

Solution :
1Vérifier : $\sqrt{4x^2} = 2x$, $\sqrt{25} = 5$, terme du milieu $= 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$ ✓
2C'est un TCP ! $(2x - 5)^2$

💡 Stratégie de factorisation — Ordre à suivre

  1. D'abord, vérifier s'il y a une MES possible.
  2. Ensuite, si 2 termes : vérifier différence de carrés.
  3. Si 3 termes : vérifier TCP, puis produit–somme.
  4. Si 4 termes : essayer la MED.
  5. Toujours vérifier en développant le résultat.

5. Équations du 1er degré Sec 1–2

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de la variable qui rend l'égalité vraie. Le principe de base : effectuer les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité.

⭐ Propriétés d'égalité

✏️ Exemple 12 — Équation simple

Résoudre : $3x - 7 = 2x + 5$

Solution :
1Isoler $x$ : $3x - 2x = 5 + 7$
2$x = 12$
3Vérification : $3(12) - 7 = 29$ et $2(12) + 5 = 29$ ✓

✏️ Exemple 13 — Équation avec parenthèses

Résoudre : $2(3x - 4) - 5 = x + 7$

Solution :
1Développer : $6x - 8 - 5 = x + 7$
2Simplifier : $6x - 13 = x + 7$
3Isoler : $5x = 20$
4$x = 4$

✏️ Exemple 14 — Équation avec fractions

Résoudre : $\dfrac{x}{3} - \dfrac{x-1}{2} = 1$

Solution :
1Multiplier par le PPCM des dénominateurs ($= 6$) : $6 \cdot \dfrac{x}{3} - 6 \cdot \dfrac{x-1}{2} = 6$
2Simplifier : $2x - 3(x-1) = 6$
3Développer : $2x - 3x + 3 = 6$
4$-x = 3 \Rightarrow x = -3$

6. Systèmes d'équations Sec 3

Un système d'équations est un ensemble de deux équations à deux inconnues. On cherche la paire $(x, y)$ qui satisfait les deux équations simultanément.

🔹 Méthode par substitution

Isoler une variable dans l'une des équations, puis substituer dans l'autre.

🔹 Méthode par élimination

Additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable.

✏️ Exemple 15 — Méthode par substitution

Résoudre le système : $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 16 \end{cases}$

Solution :
1Substituer $y = 2x + 1$ dans la 2e équation : $3x + (2x + 1) = 16$
2$5x + 1 = 16 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$
3Trouver $y$ : $y = 2(3) + 1 = 7$
4Solution : $(x, y) = (3, 7)$. Vérification : $3(3) + 7 = 16$ ✓

✏️ Exemple 16 — Méthode par élimination

Résoudre le système : $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

Solution :
1Additionner les deux équations : $(2x + 4x) + (3y - 3y) = 12 + 6$
2$6x = 18 \Rightarrow x = 3$
3Substituer $x = 3$ dans la 1re équation : $2(3) + 3y = 12 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$
4Solution : $(x, y) = (3, 2)$

Système d'équations : ajustez les curseurs pour chaque droite et observez le point d'intersection (solution du système).

ALGE·1Figure 1 — Système de deux droites : le point d'intersection est la solution du système.

💡 Interprétation graphique

7. Inégalités Sec 3–4

Une inégalité est une relation d'ordre entre deux expressions. La solution est un intervalle de valeurs (et non une valeur unique).

📖 Symboles d'inégalité

SymboleSensExemple
$<$strictement inférieur à$x < 3$
$\leq$inférieur ou égal à$x \leq 5$
$>$strictement supérieur à$x > -2$
$\geq$supérieur ou égal à$x \geq 0$

⭐ Règle cruciale : inversion du signe

Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

$$-2x > 6 \quad \xRightarrow{\div (-2)} \quad x < -3$$

✏️ Exemple 17 — Résoudre une inégalité

Résoudre et représenter sur une droite numérique : $3 - 2x \leq 11$

Solution :
1Soustraire 3 des deux membres : $-2x \leq 8$
2Diviser par $-2$ (inverser le sens !) : $x \geq -4$
3Solution : $x \in [-4, +\infty[$
-6 -4 -2 0 2 4

ALGE·2Figure 2 — Solution de $x \geq -4$ sur une droite numérique (cercle plein = inclus).

✏️ Exemple 18 — Inégalité double

Résoudre : $-3 < 2x + 1 \leq 9$

Solution :
1Soustraire 1 partout : $-4 < 2x \leq 8$
2Diviser par 2 : $-2 < x \leq 4$
3Solution : $x \in ]-2, 4]$ (la borne $-2$ est exclue, la borne $4$ est incluse)

⚠️ Notation des intervalles (Québec)

Au Québec, on utilise les crochets selon la convention :

Récapitulatif des formules essentielles

Concept Formule / Règle
Carré d'une somme $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Carré d'une différence $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Différence de carrés $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
Produit–somme (Sec 3) $x^2 + bx + c = (x+p)(x+q)$ avec $pq = c$, $p+q = b$
Mise en évidence simple $ab + ac = a(b + c)$
Inversion du sens Multiplier / diviser par un négatif → inverser $<$ et $>$

8. Exercices récapitulatifs

📝 Bloc A — Polynômes et opérations Sec 1–2

  1. Simplifier : $(7x^2 - 3x + 4) - (2x^2 + 5x - 9)$
  2. Développer : $-4x(x^2 - 3x + 2)$
  3. Développer et simplifier : $(x + 5)(x - 3)$
  4. Développer en utilisant une identité remarquable : $(2x - 7)^2$
  5. Développer : $(3x + 4)(3x - 4)$

📝 Bloc B — Factorisation Sec 3–4

  1. Factoriser par MES : $15x^3 - 10x^2 + 5x$
  2. Factoriser : $x^2 - 5x + 6$
  3. Factoriser : $x^2 - 49$
  4. Factoriser : $9x^2 + 12x + 4$
  5. Factoriser complètement : $3x^2 - 12$
  6. Factoriser : $2x^2 + 5x - 3$

📝 Bloc C — Équations et systèmes Sec 1–3

  1. Résoudre : $4(2x - 3) = 2(x + 9)$
  2. Résoudre : $\dfrac{2x+1}{3} = \dfrac{x-2}{2} + 1$
  3. Résoudre le système par substitution : $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ y = x - 1 \end{cases}$
  4. Résoudre le système par élimination : $\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ 5x - 2y = 11 \end{cases}$

📝 Bloc D — Inégalités Sec 3–4

  1. Résoudre et représenter : $5x - 3 > 2x + 9$
  2. Résoudre : $-3(x + 2) \leq 4x - 1$
  3. Résoudre l'inégalité double : $-1 \leq \dfrac{3x - 2}{4} < 5$
  4. Un rectangle a un périmètre d'au plus 60 cm. Sa longueur est le double de sa largeur. Trouver les valeurs possibles de la largeur.
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