Fonctions du 1er et 2e degré

Secondaire 4 — Programme du Québec — Mise à jour : mars 2026

📋 Table des matières

  1. Fonction du 1er degré (linéaire) — pente, intercepts, équation, graphique
  2. Fonction du 2e degré — introduction — parabole, paramètre $a$, propriétés
  3. Forme canonique — $f(x) = a(x-h)^2 + k$, sommet, transformations
  4. Forme générale et complétion du carré — preuve de $h = -b/2a$, conversions
  5. Zéros — les trois cas du discriminant — $\Delta > 0$, $\Delta = 0$, $\Delta < 0$
  6. Exercices récapitulatifs

1. Fonction du 1er degré (linéaire)

📖 Définition

Une fonction du 1er degré (ou fonction affine) est de la forme :

$$f(x) = ax + b$$

1.1 Les quatre types de pente

La valeur de $a$ détermine entièrement la direction et l'inclinaison de la droite :

$a > 0$ — Croissante

La droite monte de gauche à droite. Plus $a$ est grand, plus l'inclinaison est forte.

Ex. : $y = 3x + 1$

$a < 0$ — Décroissante

La droite descend de gauche à droite. Plus $|a|$ est grand, plus la descente est rapide.

Ex. : $y = -2x + 5$

$a = 0$ — Horizontale

Droite parallèle à l'axe $x$. La valeur de $y$ ne change pas.

Ex. : $y = 4$

$a$ indéfini — Verticale

Droite $x = k$. Ce n'est pas une fonction (un $x$ donne plusieurs $y$).

Ex. : $x = -2$

💡 Comment interpréter la pente

La pente $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ signifie : « quand $x$ augmente de $1$, $y$ change de $a$ ».

Si $a = -3$ : pour chaque pas de $+1$ en $x$, $y$ diminue de $3$. Si $a = \dfrac{2}{3}$ : pour chaque pas de $+3$ en $x$, $y$ monte de $2$.

1.2 Intercepts — ordonnée et abscisse à l'origine

Ordonnée à l'origine (y-intercept)

Point où la droite coupe l'axe $y$. On pose $x = 0$ :

$$f(0) = a(0) + b = b$$

Le point est $(0,\, b)$. On le lit directement dans l'équation.

Zéro / Abscisse à l'origine (x-intercept)

Point où la droite coupe l'axe $x$. On pose $f(x) = 0$ :

$$ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}$$

Le point est $\!\left(-\dfrac{b}{a},\, 0\right)$.

✏️ Exemple 1 — Lire les caractéristiques

Pour $f(x) = 2x - 6$, identifier la pente, l'ordonnée à l'origine, le zéro, et dresser un tableau.

Solution :
1Pente : $a = 2$ (positive → droite croissante, monte de $2$ pour chaque $+1$ en $x$).
2Ordonnée à l'origine : $b = -6$ → point $(0,\,-6)$.
3Zéro : $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ → point $(3,\,0)$.
4Tableau de valeurs :
$x$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$
$f(x)$$-8$$-6$$-4$$-2$$0$$2$

On voit que chaque pas $+1$ en $x$ donne $+2$ en $y$ — c'est la pente $a = 2$.

✏️ Exemple 2 — Pente négative

Pour $g(x) = -3x + 9$, identifier la pente, les intercepts, et tracer les points clés.

Solution :
1Pente : $a = -3$ (négative → droite décroissante, descend de $3$ pour chaque $+1$ en $x$).
2Ordonnée à l'origine : $g(0) = 9$ → point $(0,\,9)$.
3Zéro : $-3x + 9 = 0 \Rightarrow x = 3$ → point $(3,\,0)$.
4Tableau :
$x$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$
$g(x)$$12$$9$$6$$3$$0$$-3$

1.3 Méthode pour tracer le graphique d'une droite

⭐ Méthode des deux points (recommandée)

  1. Trouver l'ordonnée à l'origine : poser $x = 0$, placer le point $(0, b)$.
  2. Trouver le zéro : poser $y = 0$, calculer $x = -b/a$, placer le point $(-b/a, 0)$.
  3. Tracer la droite qui passe par ces deux points.
  4. Vérifier avec un troisième point calculé à partir du tableau.

✏️ Exemple 3 — Tracer $f(x) = \frac{1}{2}x - 2$

Tracer la droite en utilisant la méthode des deux points, puis vérifier avec un troisième point.

Solution :
1Ordonnée à l'origine : $f(0) = -2$ → point $A(0,\,-2)$.
2Zéro : $\frac{1}{2}x - 2 = 0 \Rightarrow x = 4$ → point $B(4,\,0)$.
3Tracer la droite $AB$.
4Vérification : $f(6) = 3 - 2 = 1$ → point $C(6,\,1)$ doit être sur la droite ✓

Interprétation de la pente $a = \frac{1}{2}$ : pour chaque déplacement de $+2$ en $x$, $y$ monte de $1$.

✏️ Exemple 4 — Droite horizontale et constante

Que représente $h(x) = 5$ ? Tracer son graphique et calculer quelques valeurs.

Solution :

$h(x) = 5$ correspond à $a = 0$, $b = 5$. Peu importe la valeur de $x$, $y$ vaut toujours $5$.

$x$$-3$$0$$2$$10$
$h(x)$$5$$5$$5$$5$

Le graphique est une droite horizontale passant par $(0, 5)$, parallèle à l'axe des $x$. Il n'y a aucun zéro (la droite ne coupe jamais l'axe $x$).

1.4 Trouver l'équation d'une droite

⭐ Trois situations fréquentes

Information donnéeMéthode
Pente $a$ et ordonnée à l'origine $b$Écrire directement $y = ax + b$
Pente $a$ et un point $(x_0, y_0)$$y - y_0 = a(x - x_0)$, puis simplifier
Deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$Calculer $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, puis utiliser un point

✏️ Exemple 5 — Pente et un point

Trouver l'équation de la droite de pente $4$ passant par le point $(2,\,7)$.

Solution :
1On connaît $a = 4$ et le point $(2, 7)$, donc $y_0 = 7$, $x_0 = 2$.
2Substituer dans $f(x) = ax + b$ : $7 = 4(2) + b \Rightarrow b = 7 - 8 = -1$.
3Équation : $\boxed{f(x) = 4x - 1}$.
4Vérification : $f(2) = 8 - 1 = 7$ ✓

✏️ Exemple 6 — Deux points donnés

Trouver l'équation de la droite passant par $P(1,\,8)$ et $Q(4,\,-1)$.

Solution :
1Calculer la pente : $a = \dfrac{-1 - 8}{4 - 1} = \dfrac{-9}{3} = -3$.
2Utiliser le point $P(1, 8)$ : $8 = -3(1) + b \Rightarrow b = 11$.
3Équation : $\boxed{f(x) = -3x + 11}$.
4Vérification avec $Q$ : $f(4) = -12 + 11 = -1$ ✓

⚠️ Ordre des points dans la formule de pente

$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ : on soustrait toujours dans le même ordre en haut et en bas. Inverser l'un et pas l'autre changerait le signe de la pente.

Ajustez m (pente) et b (ordonnée à l'origine) — observez comment la droite $f(x)=mx+b$ change.

LINF·1Figure 1 — Fonction linéaire f(x) = mx + b

2. Fonction du 2e degré — introduction

📖 Définition

Une fonction quadratique est de la forme :

$$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$$

Son graphique est une parabole — courbe en forme de U (ou ∩) symétrique par rapport à une droite verticale appelée axe de symétrie.

2.1 La parabole de base $f(x) = x^2$

✏️ Exemple 7 — Table de valeurs de $f(x) = x^2$

Dresser un tableau centré sur $x = 0$ et identifier les propriétés clés.

Solution :
$x$$-4$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$
$f(x)$$16$$9$$4$$1$$0$$1$$4$$9$$16$

Observations :

  • Sommet : $(0,\,0)$ — point le plus bas (minimum car $a = 1 > 0$).
  • Symétrie : $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ — la parabole est symétrique par rapport à $x = 0$.
  • Croissance : décroissante sur $]-\infty, 0]$, croissante sur $[0, +\infty[$.
  • Domaine : $\mathbb{R}$  |  Image : $[0, +\infty[$.

2.2 L'effet du paramètre $a$

✏️ Exemple 8 — Comparer $f(x) = x^2$, $g(x) = 3x^2$, $h(x) = \frac{1}{3}x^2$, $k(x) = -2x^2$

Solution — tableau comparatif :
$x$$f=x^2$$g=3x^2$$h=\frac{1}{3}x^2$$k=-2x^2$
$-2$$4$$12$$1{,}33$$-8$
$-1$$1$$3$$0{,}33$$-2$
$0$$0$$0$$0$$0$
$1$$1$$3$$0{,}33$$-2$
$2$$4$$12$$1{,}33$$-8$
$|a| > 1$ — parabole étroite

Les valeurs $|f(x)|$ grandissent plus vite. La parabole est plus « resserrée » autour de l'axe de symétrie.

$0 < |a| < 1$ — parabole large

Les valeurs $|f(x)|$ grandissent plus lentement. La parabole est plus « aplatie ».

$a < 0$ — parabole inversée

La parabole s'ouvre vers le bas. Le sommet devient un maximum au lieu d'un minimum.

Résumé rapide

$a > 0$ → ∪ (minimum)   $a < 0$ → ∩ (maximum)
Grand $|a|$ → étroite   Petit $|a|$ → large

2.3 Propriétés fondamentales d'une parabole

⭐ Vocabulaire essentiel

✏️ Exemple 9 — Identifier les propriétés de $f(x) = -x^2 + 4$

Sans outil, identifier le sommet, l'axe, les zéros et l'ordonnée à l'origine.

Solution :
1Réécrire : $f(x) = -1 \cdot (x - 0)^2 + 4$ → sommet $S(0,\,4)$, axe $x = 0$.
2Direction : $a = -1 < 0$ → parabole vers le bas, maximum de $4$.
3Zéros : $-x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
4Ordonnée à l'origine : $f(0) = 4$.
$x$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$
$f(x)$$-5$$0$$3$$4$$3$$0$$-5$

3. Forme canonique $f(x) = a(x-h)^2 + k$

📖 Forme canonique

$$\boxed{f(x) = a(x - h)^2 + k}$$

3.1 Lire le sommet directement

✏️ Exemple 10 — Minimum

Soit $f(x) = 2(x - 3)^2 - 8$. Identifier le sommet, la direction, et calculer des points.

Solution :
1$a = 2$, $h = 3$, $k = -8$ → sommet $S(3,\,-8)$, axe $x = 3$.
2$a = 2 > 0$ → parabole vers le haut, minimum de $-8$ en $x = 3$.
3Points symétriques par rapport à $x = 3$ :
$x$$1$$2$$3$$4$$5$
$f(x)$$0$$-6$$-8$$-6$$0$

Notez que $f(1) = f(5) = 0$ et $f(2) = f(4) = -6$ — symétrie autour de $x = 3$.

✏️ Exemple 11 — Maximum et attention au signe de $h$

Soit $g(x) = -\frac{1}{2}(x + 4)^2 + 6$. Identifier toutes les propriétés.

Solution :
1Réécrire : $g(x) = -\frac{1}{2}\bigl(x - (-4)\bigr)^2 + 6$ → $a = -\frac{1}{2}$, $h = -4$, $k = 6$.
2Sommet $S(-4,\,6)$, axe $x = -4$.
3$a < 0$ → parabole vers le bas, maximum de $6$ en $x = -4$.
4Zéros : $-\frac{1}{2}(x+4)^2 + 6 = 0 \Rightarrow (x+4)^2 = 12 \Rightarrow x = -4 \pm 2\sqrt{3} \approx -4 \pm 3{,}46$.

Donc $x_1 \approx -0{,}54$ et $x_2 \approx -7{,}46$.

3.2 Tracer une parabole pas à pas

⭐ Méthode systématique — 5 étapes

  1. Lire $a$, $h$, $k$. Placer le sommet $S(h, k)$.
  2. Déterminer la direction (haut si $a > 0$, bas si $a < 0$).
  3. Calculer $f(h+1)$ et utiliser la symétrie pour $f(h-1)$ — deux points flanquant le sommet.
  4. Calculer $f(0)$ (ordonnée à l'origine) et son symétrique $f(2h)$.
  5. Relier les points avec une courbe lisse en forme de U ou ∩.

✏️ Exemple 12 — Tracer $f(x) = (x - 2)^2 - 9$ en 5 étapes

Solution :
1$a = 1$, $h = 2$, $k = -9$ → sommet $S(2,\,-9)$.
2$a > 0$ → parabole vers le haut (U).
3$f(3) = 1 - 9 = -8$ → $(3, -8)$ et par symétrie $(1, -8)$.
$f(4) = 4 - 9 = -5$ → $(4, -5)$ et par symétrie $(0, -5)$.
4Ordonnée à l'origine : $f(0) = 4 - 9 = -5$ → $(0, -5)$ ✓ (cohérent).
5Zéros : $(x-2)^2 = 9 \Rightarrow x = 5$ ou $x = -1$.
$x$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$$5$
$f(x)$$0$$-5$$-8$$-9$$-8$$-5$$0$

✏️ Exemple 13 — Trouver l'équation depuis le graphique

Une parabole a son sommet en $S(1,\,5)$ et passe par le point $(3,\,-3)$. Trouver son équation.

Solution :
1Forme canonique : $f(x) = a(x - 1)^2 + 5$ (on ne connaît pas encore $a$).
2Substituer le point $(3, -3)$ : $-3 = a(3-1)^2 + 5 = 4a + 5$.
3$4a = -8 \Rightarrow a = -2$.
4Équation : $\boxed{f(x) = -2(x-1)^2 + 5}$.
5Vérification : $f(3) = -2(4) + 5 = -3$ ✓

Ajustez a, h, k — observez comment la parabole $f(x)=a(x-h)^2+k$ se transforme. La pointillée grise = $y = x^2$.

LINF·2Figure 2 — Parabole en forme canonique

4. Forme générale et complétion du carré

📖 Forme générale

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

Avantage : on lit directement l'ordonnée à l'origine ($c$) et les coefficients $a$, $b$, $c$.
Désavantage : le sommet n'est pas visible directement — il faut le calculer.

4.1 Formule du sommet — démonstration complète

📐 Preuve : pourquoi $h = -\dfrac{b}{2a}$ ?

On part de la forme générale $f(x) = ax^2 + bx + c$ et on la convertit en forme canonique par complétion du carré.

1Factoriser $a$ devant les termes en $x$ :
$f(x) = a\!\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) + c$
2Compléter le carré à l'intérieur : ajouter et soustraire $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ :
$f(x) = a\!\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2}\right) + c$
3Regrouper le trinôme carré parfait :
$f(x) = a\!\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}\right] + c$
4Distribuer le facteur $a$ :
$f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c$
5Réécrire sous la forme canonique $a(x - h)^2 + k$ :
$f(x) = a\!\left(x - \left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$

On identifie donc :

$$\boxed{h = -\frac{b}{2a}} \qquad \text{et} \qquad \boxed{k = c - \frac{b^2}{4a} = f(h)}$$

La formule $h = -b/(2a)$ n'est pas un fait arbitraire — elle découle directement de la complétion du carré.

4.2 Utiliser la formule du sommet

✏️ Exemple 14 — Trouver le sommet

Soit $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Trouver le sommet, l'axe, et l'ordonnée à l'origine.

Solution :
1$a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.
2$h = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3$.
3$k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$. Sommet $S(3,\,-4)$, axe $x = 3$.
4Ordonnée à l'origine : $f(0) = c = 5$ → $(0,\,5)$.
5Forme canonique équivalente : $f(x) = (x - 3)^2 - 4$.

4.3 Complétion du carré — méthode pas à pas

💡 Rappel : carré parfait

$$x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2$$

On ajoute $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$ pour compléter le carré, et on le soustrait aussitôt pour ne pas changer la valeur.

✏️ Exemple 15 — Complétion du carré, $a = 1$

Convertir $f(x) = x^2 - 8x + 7$ en forme canonique.

Solution :
1Regrouper : $f(x) = (x^2 - 8x) + 7$.
2Calculer $\left(\dfrac{-8}{2}\right)^2 = 16$. Ajouter et soustraire $16$ :
$f(x) = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 7$
3Factoriser le trinôme : $f(x) = (x - 4)^2 - 9$.
4Sommet $S(4,\,-9)$, minimum de $-9$, axe $x = 4$.
5Vérification : $f(4) = 16 - 32 + 7 = -9$ ✓

✏️ Exemple 16 — Complétion du carré, $a \neq 1$

Convertir $f(x) = 2x^2 - 12x + 11$ en forme canonique.

Solution :
1Factoriser $a = 2$ devant les termes en $x$ : $f(x) = 2(x^2 - 6x) + 11$.
2Calculer $\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2 = 9$. Ajouter et soustraire $9$ à l'intérieur des parenthèses :
$f(x) = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 11 = 2\bigl[(x-3)^2 - 9\bigr] + 11$
3Distribuer le $2$ : $f(x) = 2(x-3)^2 - 18 + 11 = 2(x-3)^2 - 7$.
4Sommet $S(3,\,-7)$, minimum de $-7$, axe $x = 3$.
5Vérification : $f(3) = 18 - 36 + 11 = -7$ ✓

✏️ Exemple 17 — Complétion du carré, $a$ négatif

Convertir $f(x) = -3x^2 + 12x - 5$ en forme canonique.

Solution :
1Factoriser $a = -3$ : $f(x) = -3(x^2 - 4x) - 5$.
2$\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2 = 4$. Compléter : $f(x) = -3(x^2 - 4x + 4 - 4) - 5 = -3\bigl[(x-2)^2 - 4\bigr] - 5$.
3Distribuer le $-3$ : $f(x) = -3(x-2)^2 + 12 - 5 = -3(x-2)^2 + 7$.
4$a = -3 < 0$ → sommet $S(2,\,7)$ est un maximum de $7$.
5Vérification : $f(2) = -12 + 24 - 5 = 7$ ✓

⚠️ Erreur classique avec $a \neq 1$

Quand on ajoute $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ à l'intérieur des parenthèses, le facteur $a$ multiplie cette quantité. Il faut donc soustraire $a \cdot \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ à l'extérieur, pas simplement $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$.

Dans l'exemple 16 : on ajoute $9$ à l'intérieur, mais le facteur $a = 2$ rend cette correction égale à $2 \times 9 = 18$ à soustraire.

5. Zéros — les trois cas du discriminant

Les zéros (racines) d'une fonction quadratique sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$. Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection avec l'axe des $x$.

⭐ Formule quadratique

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{avec} \quad \Delta = b^2 - 4ac$$

Le discriminant $\Delta$ détermine le nombre de zéros avant même de les calculer.

$\Delta > 0$

2 zéros

La parabole coupe l'axe $x$ en deux points distincts.

$\Delta = 0$

1 zéro

La parabole est tangente à l'axe $x$ (touche sans couper).

$\Delta < 0$

0 zéro réel

La parabole ne touche pas l'axe $x$.

5.1 Méthode de factorisation (quand possible)

💡 Chercher deux nombres dont le produit est $ac$ et la somme est $b$

Pour $ax^2 + bx + c$ avec $a = 1$ : chercher $p$ et $q$ tels que $p \cdot q = c$ et $p + q = b$. Alors $f(x) = (x - p)(x - q)$ et les zéros sont $p$ et $q$.

✏️ Exemple 18 — Factorisation simple

Trouver les zéros de $f(x) = x^2 - 7x + 12$ par factorisation.

Solution :
1Chercher $p$ et $q$ : $p \cdot q = 12$ et $p + q = -7$ → essais : $-3$ et $-4$ ✓ ($(-3)(-4)=12$, $-3+(-4)=-7$).
2$f(x) = (x - 3)(x - 4)$ → zéros : $x = 3$ et $x = 4$.
3Vérification : $f(3) = 9 - 21 + 12 = 0$ ✓   $f(4) = 16 - 28 + 12 = 0$ ✓

$\Delta = 49 - 48 = 1 > 0$ — confirmé, deux zéros.

5.2 Cas $\Delta > 0$ — deux zéros distincts

✏️ Exemple 19 — Formule quadratique ($\Delta > 0$)

Trouver les zéros de $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$.

Solution :
1$a = 2$, $b = -5$, $c = -3$. $\Delta = 25 + 24 = 49 > 0$ → deux zéros.
2$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$.
3$x_1 = \dfrac{12}{4} = 3$   et   $x_2 = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$.
4Vérification : $f(3) = 18 - 15 - 3 = 0$ ✓   $f\!\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = 0$ ✓

✏️ Exemple 20 — Zéros irrationnels ($\Delta > 0$, pas un carré parfait)

Trouver les zéros de $f(x) = x^2 - 4x + 1$, en valeurs exactes et approximatives.

Solution :
1$\Delta = 16 - 4 = 12 > 0$. $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
2$x = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
3Valeurs exactes : $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ et $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.
4Valeurs approx. : $x_1 \approx 3{,}73$ et $x_2 \approx 0{,}27$.

5.3 Cas $\Delta = 0$ — un seul zéro (tangence)

✏️ Exemple 21 — Discriminant nul

Trouver le(s) zéro(s) de $f(x) = 4x^2 - 12x + 9$.

Solution :
1$\Delta = 144 - 144 = 0$ → un seul zéro (double).
2$x = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$.
3Forme factorisée : $f(x) = (2x - 3)^2 = 4\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2$.

La parabole est tangente à l'axe $x$ au point $\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)$ — elle touche mais ne croise pas.

5.4 Cas $\Delta < 0$ — aucun zéro réel

✏️ Exemple 22 — Discriminant négatif

Montrer que $f(x) = x^2 + 2x + 5$ n'a pas de zéro réel, et situer la parabole.

Solution :
1$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ → aucun zéro réel.
2Sommet : $h = -1$, $k = f(-1) = 1 - 2 + 5 = 4$. Sommet $S(-1, 4)$.
3$a = 1 > 0$ et minimum $= 4 > 0$ → la parabole est entièrement au-dessus de l'axe $x$.

Il est impossible d'obtenir $f(x) = 0$ car $f(x) \geq 4 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

5.5 Problème d'application

✏️ Exemple 23 — Trajectoire d'un projectile

Un ballon est lancé selon $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (hauteur en m, $t$ en secondes).

a) Hauteur maximale ?   b) À quel instant ?   c) Quand touche-t-il le sol ?

Solution :

a) et b) Hauteur maximale :

1$a = -5$, $b = 20$ → $t_{max} = -\dfrac{20}{2(-5)} = 2$ s.
2$h(2) = -20 + 40 + 1 = \mathbf{21}$ m. La hauteur maximale est $21$ m, atteinte à $t = 2$ s.

c) Sol ($h = 0$) :

3$\Delta = 400 + 20 = 420 > 0$. $t = \dfrac{-20 \pm \sqrt{420}}{-10}$.
4$\sqrt{420} \approx 20{,}49$. Solution physiquement valide ($t > 0$) : $t \approx \dfrac{-20 - 20{,}49}{-10} \approx 4{,}05$ s.

Le ballon touche le sol après environ $\mathbf{4{,}05}$ secondes.

Récapitulatif — les trois formes

FormeExpressionInformation directement visibleQuand l'utiliser
Générale$ax^2 + bx + c$Ordonnée à l'origine ($c$)Calcul du discriminant, formule quadratique
Canonique$a(x-h)^2 + k$Sommet $S(h,k)$, axe $x = h$Tracer la parabole, max/min
Factorisée$a(x-x_1)(x-x_2)$Zéros $x_1$ et $x_2$Résoudre $f(x) = 0$

6. Exercices récapitulatifs

📝 Partie A — Fonction linéaire

  1. Pour $f(x) = 5x - 10$ : a) pente et ordonnée à l'origine, b) zéro, c) valeur de $f(3)$.
  2. Trouver l'équation de la droite de pente $-4$ passant par $(3,\,2)$.
  3. Trouver l'équation de la droite passant par $A(-2,\,9)$ et $B(3,\,-1)$.
  4. Une droite passe par $(0,\,-3)$ et $(5,\,7)$. Quel est son taux de variation ?

📝 Partie B — Paraboles et forme canonique

  1. Pour $f(x) = -(x-5)^2 + 16$ : a) sommet, b) direction, c) zéros algébriquement.
  2. Une parabole a son sommet en $S(3,\,-5)$ et passe par $(1,\,3)$. Trouver son équation.
  3. Convertir $g(x) = x^2 + 10x + 21$ en forme canonique par complétion du carré.
  4. Convertir $h(x) = -2x^2 + 8x - 3$ en forme canonique.

📝 Partie C — Zéros et discriminant

  1. Pour chacune, calculer $\Delta$ et indiquer le nombre de zéros : a) $x^2 - 9$, b) $x^2 + 6x + 9$, c) $2x^2 + x + 3$.
  2. Trouver les zéros de $f(x) = 3x^2 - 7x + 2$ par la formule quadratique.
  3. Vérifier par factorisation que $f(x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
  4. Un objet est lancé selon $h(t) = -4{,}9t^2 + 19{,}6t + 2$. Trouver a) la hauteur max, b) le temps de retour au sol.
🔑 Voir les réponses

Partie A :

  1. a) $a=5$, $b=-10$   b) zéro : $x=2$   c) $f(3)=5$
  2. $2 = -4(3) + b \Rightarrow b = 14$ → $f(x) = -4x + 14$
  3. $a = \frac{-1-9}{3-(-2)} = -2$ ; $b = 9 - (-2)(-2) = 5$ → $f(x) = -2x + 5$
  4. $a = \frac{7-(-3)}{5-0} = 2$

Partie B :

  1. a) $S(5,16)$ b) vers le bas c) $(x-5)^2=16 \Rightarrow x=9$ ou $x=1$
  2. $3 = a(1-3)^2 - 5 = 4a - 5 \Rightarrow a = 2$ → $f(x) = 2(x-3)^2 - 5$
  3. $(x^2+10x+25)-25+21 = (x+5)^2-4$ → sommet $S(-5,-4)$
  4. $-2(x^2-4x)-3 = -2(x-2)^2+8-3 = -2(x-2)^2+5$ → sommet $S(2,5)$

Partie C :

  1. a) $\Delta=36>0$ (2)   b) $\Delta=0$ (1)   c) $\Delta=1-24=-23<0$ (0)
  2. $\Delta=49-24=25$ ; $x=\frac{7\pm5}{6}$ → $x=2$ ou $x=\frac{1}{3}$
  3. $(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$ ✓
  4. $t=2$ s, $h(2)=21{,}6$ m ; $\Delta=384{,}16+39{,}2$ → $t\approx4{,}1$ s

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