Calcul différentiel

Cégep — Sciences de la nature — Mise à jour : mars 2026

📋 Table des matières

  1. Limites Cégep
  2. Continuité Cégep
  3. Définition de la dérivée Cégep
  4. Règles de dérivation Cégep
  5. Dérivées d'ordre supérieur Cégep
  6. Applications de la dérivée Cégep
  7. Résumé des formules

1. Limites Cégep

La notion de limite est la pierre angulaire du calcul différentiel et intégral. Elle permet de décrire le comportement d'une fonction lorsqu'une variable se rapproche d'une valeur donnée, sans nécessairement l'atteindre.

📖 Définition intuitive — Limite

On dit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ est $L$, et on écrit :

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

si $f(x)$ peut être rendue aussi proche de $L$ que l'on veut, en choisissant $x$ suffisamment près de $a$ (sans que $x$ soit égal à $a$).

Limites unilatérales

Il est souvent utile de distinguer le comportement d'une fonction selon le côté dont on s'approche :

📙 Théorème — Existence de la limite

La limite $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe si et seulement si les deux limites unilatérales existent et sont égales :

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

Déplacez le curseur c pour observer comment $f(x) = \dfrac{x^2 - c^2}{x - c}$ (trou en $x = c$) approche la limite $L = 2c$ des deux côtés.

DIFF·1Figure 1 — Limite d'une fonction avec trou en $x = c$ : la courbe approche $L = 2c$ des deux côtés.

Propriétés des limites

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = M$, alors :

PropriétéFormule
Somme / différence$\displaystyle\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
Produit$\displaystyle\lim_{x \to a}[f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
Quotient$\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$, si $M \neq 0$
Puissance$\displaystyle\lim_{x \to a}[f(x)]^n = L^n$
Constante$\displaystyle\lim_{x \to a} c = c$
Identité$\displaystyle\lim_{x \to a} x = a$

Formes indéterminées et techniques algébriques

Certaines substitutions directes donnent des formes indéterminées comme $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$. Il faut alors utiliser des manipulations algébriques :

Factorisation

Factoriser numérateur et dénominateur, puis simplifier les facteurs communs.

Utile quand : $\frac{0}{0}$ avec polynômes.

Conjugué

Multiplier par le conjugué $\frac{\sqrt{A}+B}{\sqrt{A}+B}$ pour éliminer les radicaux.

Utile quand : racine carrée au numérateur ou dénominateur.

Limites à l'infini

Lorsque $x \to \pm\infty$, on divise numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de $x$ présente. Le résultat donne les asymptotes horizontales.

💡 Règle pratique — Degré des polynômes

Pour $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}$ :

Exemples résolus

📌 Exemple 1 — Substitution directe

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 3}(x^2 - 2x + 1)$.

Solution :

La fonction $f(x) = x^2 - 2x + 1$ est un polynôme, continu partout. On substitue directement :

$$\lim_{x \to 3}(x^2 - 2x + 1) = (3)^2 - 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = \boxed{4}$$

📌 Exemple 2 — Factorisation

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Solution :

Substitution directe donne $\frac{0}{0}$, une forme indéterminée. On factorise :

$$\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 2 + 2 = \boxed{4}$$

On peut simplifier $(x-2)$ car $x \neq 2$ (on s'approche de 2, sans l'atteindre).

📌 Exemple 3 — Conjugué (rationalisation)

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+4} - 2}{x}$.

Solution :

Substitution donne $\frac{0}{0}$. On multiplie par le conjugué :

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \lim_{x \to 0}\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}$$ $$= \lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \boxed{\dfrac{1}{4}}$$

📌 Exemple 4 — Limite à l'infini

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 - x}{2x^2 + 5}$.

Solution :

Degrés égaux ($n = m = 2$). On divise par $x^2$ :

$$\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2 - x}{2x^2 + 5} = \lim_{x \to \infty}\frac{3 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \boxed{\dfrac{3}{2}}$$

L'asymptote horizontale est $y = \dfrac{3}{2}$.

📌 Exemple 5 — Limite unilatérale

Soit $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$.

Solution :
Étape 1 Limite à gauche : $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-}(x+1) = 2+1 = 3$
Étape 2 Limite à droite : $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+}(x^2-1) = 4-1 = 3$
Étape 3 Puisque $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3$, la limite existe : $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = \boxed{3}$

📝 Exercices — Limites Cégep

  1. $\displaystyle\lim_{x \to 4}(2x^2 - 3x + 1)$
  2. $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$
  3. $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$
  4. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{9 + x} - 3}{x}$
  5. $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\dfrac{5x^3 - 2x}{x^3 + 4x^2}$
  6. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\dfrac{2x^2 + x}{x^3 - 1}$
  7. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\dfrac{|x|}{x}$
  8. Soit $g(x) = \begin{cases} 2x + 3 & x < 1 \\ x^2 + 4 & x \geq 1 \end{cases}$. La limite $\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x)$ existe-t-elle ? Justifier.
Solutions — Limites
1. Substitution directe : $2(4)^2 - 3(4) + 1 = 32 - 12 + 1 = \mathbf{21}$
2. $\dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \;\to\; \mathbf{2}$
3. Factoriser : $\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)} = \dfrac{x+3}{x-2} \;\to\; \dfrac{6}{1} = \mathbf{6}$
4. Conjugué : $\dfrac{\sqrt{9+x}-3}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{9+x}+3}{\sqrt{9+x}+3} = \dfrac{x}{x(\sqrt{9+x}+3)} = \dfrac{1}{\sqrt{9}+3} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$
5. Diviser par $x^3$ : $\dfrac{5 - 2/x^2}{1 + 4/x} \to \mathbf{5}$
6. Diviser par $x^3$ : $\dfrac{2/x + 1/x^2}{1 - 1/x^3} \to \dfrac{0}{1} = \mathbf{0}$
7. Pour $x > 0$, $|x| = x$, donc $\dfrac{|x|}{x} = 1 \;\to\; \lim_{x\to 0^+} = \mathbf{1}$
8. Limite à gauche : $2(1)+3 = 5$. Limite à droite : $1^2+4 = 5$. Les deux sont égales, donc $\displaystyle\lim_{x\to 1} g(x) = \mathbf{5}$ (la limite existe).

2. Continuité Cégep

📖 Définition — Continuité en un point

Une fonction $f$ est continue en $x = a$ si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

  1. $f(a)$ est définie (le point existe).
  2. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe.
  3. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (la limite égale la valeur de la fonction).

Si l'une de ces conditions est violée, $f$ est discontinue en $a$.

Types de discontinuité

Discontinuité évitable (trou)

La limite existe, mais $f(a)$ n'est pas définie ou $f(a) \neq L$.

Exemple : $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ en $x=2$.

Discontinuité de saut

Les limites unilatérales existent mais sont différentes : $L^- \neq L^+$.

Exemple : fonctions définies par morceaux.

Discontinuité infinie

La limite est $\pm\infty$ en $x=a$ : présence d'une asymptote verticale.

Exemple : $\dfrac{1}{x}$ en $x=0$.

Fonctions continues partout

Polynômes, fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmes (sur leur domaine).

📙 Théorème — Valeur intermédiaire (TVI)

Si $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$ et si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un $c \in (a, b)$ tel que $f(c) = k$.

Corollaire : Si $f(a)$ et $f(b)$ ont des signes opposés, l'équation $f(x) = 0$ a au moins une racine dans $(a, b)$.

Exemples résolus

📌 Exemple 1 — Vérifier la continuité

Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$. $f$ est-elle continue en $x = 3$ ?

Solution :
1 $f(3)$ : $f(3) = \dfrac{9-9}{3-3} = \dfrac{0}{0}$ — indéfini. Condition 1 violée.

$f$ est discontinue en $x = 3$ (discontinuité évitable). La limite vaut $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = 6$, mais $f(3)$ n'existe pas.

📌 Exemple 2 — Continuité d'une fonction définie par morceaux

Trouver la valeur de $k$ qui rend $f$ continue en $x = 2$, sachant que $f(x) = \begin{cases} 3x + k & x < 2 \\ x^2 + 1 & x \geq 2 \end{cases}$.

Solution :

Pour la continuité, on doit avoir $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = f(2)$.

1 $f(2) = (2)^2 + 1 = 5$
2 $\displaystyle\lim_{x\to 2^-}(3x+k) = 6 + k$
3 On pose $6 + k = 5 \;\Rightarrow\; k = \boxed{-1}$

📌 Exemple 3 — Application du TVI

Montrer que $f(x) = x^3 - x - 1$ a au moins une racine dans l'intervalle $[1, 2]$.

Solution :

$f$ est un polynôme, donc continue sur $[1, 2]$.

1 $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0$
2 $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$
3 Par le TVI, puisque $f(1) < 0 < f(2)$, il existe $c \in (1, 2)$ tel que $f(c) = 0$. ✓

📝 Exercices — Continuité Cégep

  1. Déterminer les points de discontinuité de $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2 - x - 2}$ et préciser leur type.
  2. Trouver la valeur de $a$ qui rend $f$ continue : $f(x) = \begin{cases} ax^2 - 2 & x \leq 1 \\ 3x + 1 & x > 1 \end{cases}$
  3. Montrer que $g(x) = \cos x - x$ a une racine dans $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$.
  4. Vrai ou faux : si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$. Justifier avec un exemple.
Solutions — Continuité
1. $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$. Discontinuités en $x = 2$ et $x = -1$.
En $x = -1$ : $f(-1) = \dfrac{0}{0}$ — discontinuité évitable (facteur commun $(x+1)$).
En $x = 2$ : $f(2) = \dfrac{3}{0}$ — discontinuité infinie (asymptote verticale).
2. $f(1) = a(1)^2 - 2 = a - 2$ (valeur de la fonction). Limite à droite : $3(1)+1 = 4$. On pose $a - 2 = 4 \Rightarrow \mathbf{a = 6}$.
3. $g$ est continue. $g(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$. $g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 - \dfrac{\pi}{2} < 0$. Par le TVI, $\exists\, c \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ tel que $g(c) = 0$.
4. Faux. Contre-exemple : $f(x) = |x|$ est continue en $x = 0$ mais non dérivable en $x = 0$ (coin anguleux).

3. Définition de la dérivée Cégep

📖 Définition — Dérivée d'une fonction

La dérivée de $f$ en $x$, notée $f'(x)$, est définie par :

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

à condition que cette limite existe. La dérivée en un point $a$ est :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Interprétation géométrique

Le taux de variation $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ représente la pente de la sécante entre les points $(x, f(x))$ et $(x+h, f(x+h))$. Quand $h \to 0$, cette sécante tend vers la tangente à la courbe en $(x, f(x))$.

Déplacez le curseur a pour voir la droite tangente à $f(x) = x^2$ au point $(a, a^2)$. La pente de la tangente vaut $f'(a) = 2a$.

DIFF·2Figure 2 — Droite tangente à $f(x) = x^2$ au point $(a, a^2)$ ; pente $f'(a) = 2a$.

Notations de la dérivée

NotationSignification
$f'(x)$Notation de Lagrange (prime)
$\dfrac{dy}{dx}$Notation de Leibniz
$\dfrac{d}{dx}[f(x)]$Opérateur de dérivation
$\dot{y}$Notation de Newton (souvent utilisée en physique)

⚠️ Dérivabilité implique continuité

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est nécessairement continue en $a$. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable (ex. : angle, point de rebroussement).

Exemples résolus — Calcul par définition

📌 Exemple 1 — Dérivée de $f(x) = x^2$

Solution : $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h}$$ $$= \lim_{h \to 0}(2x + h) = \boxed{2x}$$

📌 Exemple 2 — Dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$

Solution : $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$ $$= \lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}$$

📌 Exemple 3 — Dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{x}$

Solution : $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{-h}{h \cdot x(x+h)}$$ $$= \lim_{h \to 0}\frac{-1}{x(x+h)} = \boxed{-\dfrac{1}{x^2}}$$

📝 Exercices — Définition de la dérivée Cégep

  1. Calculer $f'(x)$ par définition pour $f(x) = 3x^2 - 2x$.
  2. Calculer $f'(1)$ par définition pour $f(x) = x^3$.
  3. Calculer $f'(x)$ par définition pour $f(x) = \sqrt{2x + 1}$.
  4. Une fonction $f$ vérifie $f(2) = 5$ et $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-5}{h} = -3$. Que vaut $f'(2)$ ? Quelle est l'équation de la tangente en $x = 2$ ?
Solutions — Définition de la dérivée
1. $f'(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{3(x+h)^2-2(x+h) - (3x^2-2x)}{h} = \lim_{h\to 0}\dfrac{6xh+3h^2-2h}{h} = \lim_{h\to 0}(6x+3h-2) = \mathbf{6x-2}$
2. $f'(1) = \lim_{h\to 0}\dfrac{(1+h)^3 - 1}{h} = \lim_{h\to 0}\dfrac{3h+3h^2+h^3}{h} = \lim_{h\to 0}(3+3h+h^2) = \mathbf{3}$
3. Multiplier par le conjugué : $f'(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{2(x+h)+1}-\sqrt{2x+1}}{h} \cdot \dfrac{\sqrt{2(x+h)+1}+\sqrt{2x+1}}{\cdots} = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \mathbf{\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}}$
4. La limite donnée est exactement la définition de $f'(2)$, donc $f'(2) = \mathbf{-3}$. Équation de la tangente : $y - 5 = -3(x - 2) \;\Rightarrow\; y = -3x + 11$.

4. Règles de dérivation Cégep

En pratique, on utilise des règles générales plutôt que la définition pour calculer des dérivées. Ces règles s'obtiennent à partir de la définition.

RègleFormuleExemple
Constante $\dfrac{d}{dx}[c] = 0$ $(7)' = 0$
Puissance $\dfrac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$ $(x^5)' = 5x^4$
Constante × fonction $(cf)' = c\,f'$ $(3x^4)' = 12x^3$
Somme / différence $(f \pm g)' = f' \pm g'$ $(x^3 + 2x)' = 3x^2+2$
Produit $(fg)' = f'g + fg'$ $(x^2 \sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$
Quotient $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ $\left(\dfrac{x}{x+1}\right)' = \dfrac{1}{(x+1)^2}$
Chaîne $[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)$ $(\sin(x^2))' = \cos(x^2)\cdot 2x$
$e^x$ $(e^x)' = e^x$ $(e^x)' = e^x$
$a^x$ $(a^x)' = a^x \ln a$ $(2^x)' = 2^x \ln 2$
$\ln x$ $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ $(\ln(3x))' = \dfrac{1}{x}$ (règle chaîne)
$\log_a x$ $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$ $(\log_2 x)' = \dfrac{1}{x\ln 2}$
$\sin x$ $(\sin x)' = \cos x$ $(\sin x)' = \cos x$
$\cos x$ $(\cos x)' = -\sin x$ $(\cos x)' = -\sin x$
$\tan x$ $(\tan x)' = \sec^2 x$ $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$

Exemples résolus

📌 Exemple 1 — Règle de puissance

Calculer $f'(x)$ pour $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$.

Solution : $$f'(x) = 4(5x^4) - 3(3x^2) + 7(1) - 0 = \boxed{20x^4 - 9x^2 + 7}$$

📌 Exemple 2 — Règle du produit

Calculer $\dfrac{d}{dx}[x^3 \cos x]$.

Solution :

Poser $f = x^3$, $g = \cos x$. Alors $f' = 3x^2$, $g' = -\sin x$.

$$(x^3 \cos x)' = 3x^2 \cos x + x^3(-\sin x) = \boxed{3x^2 \cos x - x^3 \sin x}$$

📌 Exemple 3 — Règle du quotient

Calculer $\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{e^x}{x^2 + 1}\right]$.

Solution :

$f = e^x$, $g = x^2+1$, $f' = e^x$, $g' = 2x$.

$$\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)' = \frac{e^x(x^2+1) - e^x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x(x^2+1-2x)}{(x^2+1)^2} = \boxed{\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}}$$

📌 Exemple 4 — Règle de la chaîne

Calculer $\dfrac{d}{dx}[(3x^2 + 1)^7]$.

Solution :

Poser $u = 3x^2+1$ (la fonction intérieure). Alors $f(u) = u^7$ et $u' = 6x$.

$$\frac{d}{dx}[(3x^2+1)^7] = 7(3x^2+1)^6 \cdot 6x = \boxed{42x(3x^2+1)^6}$$

📌 Exemple 5 — Fonctions trigonométriques

Calculer $\dfrac{d}{dx}[\sin(5x^3)]$.

Solution :

Règle de la chaîne avec $u = 5x^3$, $f(u) = \sin u$ :

$$\frac{d}{dx}[\sin(5x^3)] = \cos(5x^3) \cdot 15x^2 = \boxed{15x^2 \cos(5x^3)}$$

📌 Exemple 6 — Logarithme et exponentielle

Calculer $\dfrac{d}{dx}[\ln(x^2+3)]$ et $\dfrac{d}{dx}[e^{-2x}]$.

Solution : $$\frac{d}{dx}[\ln(x^2+3)] = \frac{1}{x^2+3} \cdot 2x = \boxed{\frac{2x}{x^2+3}}$$ $$\frac{d}{dx}[e^{-2x}] = e^{-2x} \cdot (-2) = \boxed{-2e^{-2x}}$$

📝 Exercices — Règles de dérivation Cégep

  1. $f(x) = 6x^4 - 5x^2 + 9$
  2. $g(x) = \sqrt{x} + \dfrac{3}{x^2}$ (écrire en forme puissance d'abord)
  3. $h(x) = (2x+1)(x^3-4)$ (règle du produit)
  4. $p(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ (règle du quotient)
  5. $q(x) = (x^4 + 3x)^5$ (règle de la chaîne)
  6. $r(x) = \sin(3x)\cos(3x)$ (produit + chaîne)
  7. $s(x) = e^{x^2-1}$
  8. $t(x) = \ln(\sin x)$
  9. $u(x) = x^2 e^{-x}$ (produit)
  10. $v(x) = \tan(x^2 + 1)$ (chaîne)
Solutions — Règles de dérivation
1. $f'(x) = 24x^3 - 10x$
2. $g(x) = x^{1/2} + 3x^{-2}$, donc $g'(x) = \dfrac{1}{2}x^{-1/2} - 6x^{-3} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{6}{x^3}$
3. $h'(x) = 2(x^3-4) + (2x+1)(3x^2) = 2x^3 - 8 + 6x^3 + 3x^2 = 8x^3 + 3x^2 - 8$
4. $p'(x) = \dfrac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$
5. $q'(x) = 5(x^4+3x)^4 \cdot (4x^3+3)$
6. $r'(x) = 3\cos(3x)\cos(3x) + \sin(3x)(-3\sin(3x)) = 3\cos^2(3x) - 3\sin^2(3x) = 3\cos(6x)$
7. $s'(x) = e^{x^2-1} \cdot 2x = 2xe^{x^2-1}$
8. $t'(x) = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$
9. $u'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2-x)$
10. $v'(x) = \sec^2(x^2+1) \cdot 2x = 2x\sec^2(x^2+1)$

5. Dérivées d'ordre supérieur Cégep

📖 Définition — Dérivée seconde

La dérivée seconde de $f$, notée $f''(x)$ ou $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, est la dérivée de la dérivée :

$$f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)]$$

Elle mesure le taux de variation de la dérivée, c'est-à-dire la concavité de la courbe.

Concavité et points d'inflexion

Signe de $f''(x)$Comportement de $f$
$f''(x) > 0$$f$ est concave vers le haut (cuvette 🍐)
$f''(x) < 0$$f$ est concave vers le bas (dôme ∩)
$f''(c) = 0$ et changement de signePoint d'inflexion en $x = c$

Exemples résolus

📌 Exemple 1 — Dérivée seconde d'un polynôme

Pour $f(x) = x^4 - 6x^2 + 2$, trouver $f''(x)$ et les intervalles de concavité.

Solution :
1 $f'(x) = 4x^3 - 12x$
2 $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2-1) = 12(x-1)(x+1)$
3 $f''(x) = 0$ pour $x = \pm 1$. Tableau de signes :
Intervalle$(-\infty,-1)$$x=-1$$(-1,1)$$x=1$$(1,+\infty)$
$f''(x)$+0−0+
Concavité∩ vers le hautInflexion∩ vers le basInflexion∩ vers le haut

Points d'inflexion : $x = -1$ et $x = 1$.

📌 Exemple 2 — Dérivée seconde avec chaîne

Pour $g(x) = e^{-x^2}$, calculer $g''(x)$.

Solution :
1 $g'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$
2 Règle du produit : $g''(x) = (-2)(e^{-x^2}) + (-2x)(e^{-x^2})(-2x) = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2}$
$$g''(x) = e^{-x^2}(4x^2 - 2) = \boxed{2e^{-x^2}(2x^2-1)}$$

📌 Exemple 3 — Dérivée $n$-ième

Trouver la formule générale pour $\dfrac{d^n}{dx^n}[e^{kx}]$.

Solution :

$(e^{kx})' = ke^{kx}$, $(e^{kx})'' = k^2 e^{kx}$, $(e^{kx})''' = k^3 e^{kx}$, d'où :

$$\frac{d^n}{dx^n}[e^{kx}] = \boxed{k^n e^{kx}}$$

📝 Exercices — Dérivées d'ordre supérieur Cégep

  1. Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = 3x^5 - 10x^3 + 6x$. Trouver les intervalles de concavité.
  2. Calculer $g''(x)$ pour $g(x) = \sin(2x)$.
  3. Calculer $h''(x)$ pour $h(x) = x \cdot \ln x$ ($x > 0$).
  4. Trouver le(s) point(s) d'inflexion de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.
Solutions — Dérivées d'ordre supérieur
1. $f'(x) = 15x^4 - 30x^2 + 6$. $f''(x) = 60x^3 - 60x = 60x(x^2-1) = 60x(x-1)(x+1)$.
$f'' > 0$ sur $(-1,0)$ et $(1,+\infty)$ : concave vers le haut.
$f'' < 0$ sur $(-\infty,-1)$ et $(0,1)$ : concave vers le bas.
Points d'inflexion : $x = -1, 0, 1$.
2. $g'(x) = 2\cos(2x)$. $g''(x) = -4\sin(2x)$.
3. $h'(x) = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$. $h''(x) = \dfrac{1}{x}$.
4. $f'(x) = 3x^2 - 6x$. $f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$. $f''(1) = 0$ et changement de signe. Point d'inflexion en $x = 1$ : $(1, f(1)) = (1, 0)$.

6. Applications de la dérivée Cégep

6.1 Équation de la droite tangente

📖 Formule — Droite tangente

La droite tangente à $y = f(x)$ au point $(a, f(a))$ a pour équation :

$$y - f(a) = f'(a)\,(x - a)$$

où $f'(a)$ est la pente de la tangente.

📌 Exemple 1 — Tangente à une parabole

Trouver l'équation de la tangente à $f(x) = x^2 - 3x + 2$ en $x = 1$.

Solution :
1 Point : $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \;\Rightarrow\; (1, 0)$
2 Pente : $f'(x) = 2x - 3 \;\Rightarrow\; f'(1) = -1$
3 Équation : $y - 0 = -1(x - 1) \;\Rightarrow\; \boxed{y = -x + 1}$

📌 Exemple 2 — Tangente à une fonction exponentielle

Trouver l'équation de la tangente à $g(x) = e^{2x}$ en $x = 0$.

Solution :
1 $g(0) = e^0 = 1 \;\Rightarrow\; (0, 1)$
2 $g'(x) = 2e^{2x} \;\Rightarrow\; g'(0) = 2$
3 $y - 1 = 2(x - 0) \;\Rightarrow\; \boxed{y = 2x + 1}$

6.2 Maxima et minima (extrema)

📖 Points critiques

Un point critique de $f$ est un $c$ dans le domaine de $f$ tel que $f'(c) = 0$ ou $f'(c)$ est indéfinie.

Les extrema locaux ne peuvent se produire qu'aux points critiques.

📙 Test de la dérivée première (tableau de signes)

Soit $c$ un point critique de $f$ :

📙 Test de la dérivée seconde

Soit $f'(c) = 0$ :

📌 Exemple — Trouver et classifier les extrema

Trouver et classifier les extrema locaux de $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.

Solution :
1 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2-2x-3) = 3(x-3)(x+1)$
2 Points critiques : $x = 3$ et $x = -1$
3 Tableau de signes de $f'$ :
Intervalle$(-\infty,-1)$$x=-1$$(-1,3)$$x=3$$(3,+\infty)$
$f'(x)$+0−0+
$f$↗ croissantmax local↘ décroissantmin local↗ croissant
4 Valeurs : $f(-1) = -1-3+9+5 = 10$ (maximum local) ; $f(3) = 27-27-27+5 = -22$ (minimum local)

📌 Exemple — Extrema absolus sur $[a,b]$

Trouver les extrema absolus de $f(x) = x^3 - 12x$ sur $[-3, 5]$.

Solution :
1 $f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2)$. Points critiques dans $[-3,5]$ : $x = 2$ (et $x=-2$).
2 Évaluer aux points critiques et aux extrémités :
  • $f(-3) = -27 + 36 = 9$
  • $f(-2) = -8 + 24 = 16$
  • $f(2) = 8 - 24 = -16$
  • $f(5) = 125 - 60 = 65$
3 Maximum absolu : $\boxed{65}$ en $x = 5$. Minimum absolu : $\boxed{-16}$ en $x = 2$.

6.3 Problèmes d'optimisation

💡 Méthode générale — Optimisation

1 Lire et comprendre le problème. Identifier la quantité à optimiser.
2 Définir les variables et écrire la fonction objectif $Q = f(x)$.
3 Trouver le domaine de $f$ (valeurs réalistes de $x$).
4 Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.
5 Vérifier que c'est bien un maximum/minimum (test de la 1re ou 2e dérivée).
6 Répondre à la question avec unités.

📌 Exemple 1 — Boîte sans couvercle

On découpe des carrés de côté $x$ aux coins d'une feuille de carton de 40 cm × 40 cm, puis on replie pour former une boîte sans couvercle. Quelle valeur de $x$ maximise le volume ?

Solution :
1 Dimensions de la boîte : longueur $= 40-2x$, largeur $= 40-2x$, hauteur $= x$.
2 Volume : $V(x) = x(40-2x)^2$, domaine $x \in (0, 20)$.
3 Développer : $V(x) = x(1600 - 160x + 4x^2) = 4x^3 - 160x^2 + 1600x$
4 $V'(x) = 12x^2 - 320x + 1600 = 4(3x^2 - 80x + 400) = 4(3x-20)(x-20)$
5 $V'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{20}{3}$ ou $x = 20$. Seul $x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ cm est dans $(0,20)$.
6 $V''(x) = 24x - 320$. $V''\!\left(\dfrac{20}{3}\right) = 160 - 320 = -160 < 0$ : maximum confirmé.

Le volume maximal est obtenu pour $x = \boxed{\dfrac{20}{3} \approx 6{,}67 \text{ cm}}$. $V_{\max} = \dfrac{20}{3}\left(40-\dfrac{40}{3}\right)^2 \approx 4741 \text{ cm}^3$.

📌 Exemple 2 — Rectangle de périmètre fixé

Parmi tous les rectangles de périmètre 40 m, trouver celui qui a la plus grande aire.

Solution :
1 Soit $x$ la largeur. Périmètre : $2x + 2y = 40 \;\Rightarrow\; y = 20 - x$.
2 Aire : $A(x) = x(20-x) = 20x - x^2$, $x \in (0, 20)$.
3 $A'(x) = 20 - 2x = 0 \;\Rightarrow\; x = 10$.
4 $A''(x) = -2 < 0$ : maximum. $y = 20 - 10 = 10$ m.

Le rectangle de périmètre maximal est le carré de côté $\boxed{10 \text{ m}}$, avec une aire de 100 m².

📌 Exemple 3 — Prix optimal pour maximiser le revenu

Un magasin vend 200 articles par semaine à 10 $ l'unité. Une étude montre que pour chaque augmentation de 1 $, les ventes diminuent de 10 articles. Quel prix maximise le revenu ?

Solution :
1 Soit $x$ le nombre de dollars d'augmentation. Prix $= 10 + x$, quantité $= 200 - 10x$.
2 Revenu : $R(x) = (10+x)(200-10x) = 2000 - 100x + 200x - 10x^2 = 2000 + 100x - 10x^2$
3 $R'(x) = 100 - 20x = 0 \;\Rightarrow\; x = 5$
4 $R''(x) = -20 < 0$ : maximum.

Prix optimal : $10 + 5 = \boxed{\$15}$. Revenu maximal : $R(5) = 2000 + 500 - 250 = \$2250$/semaine.

📝 Exercices — Optimisation Cégep

  1. Trouver l'équation de la tangente à $f(x) = x^3 - 4x + 2$ en $x = 2$.
  2. Trouver les extrema locaux de $g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1$ à l'aide d'un tableau de signes.
  3. Trouver les extrema absolus de $h(x) = x^4 - 8x^2$ sur $[-3, 3]$.
  4. On souhaite enclore un espace rectangulaire avec 120 m de clôture. Quelle est l'aire maximale que l'on peut enclore ?
  5. La demande pour un produit est $q = 400 - 2p$ (où $p$ est le prix). Quel prix maximise le revenu total $R = p \cdot q$ ?
  6. Un cylindre droit ouvert (sans dessus) doit avoir un volume de $500\pi$ cm³. Trouver les dimensions (rayon et hauteur) qui minimisent la quantité de matériau utilisée.
Solutions — Optimisation
1. $f'(x) = 3x^2-4$. $f'(2) = 8$. $f(2) = 8-8+2 = 2$. Tangente : $y - 2 = 8(x-2) \;\Rightarrow\; y = 8x - 14$.
2. $g'(x) = 6x^2-18x+12 = 6(x-1)(x-2)$. Points critiques : $x=1$ et $x=2$.
$g'$ : $+$ sur $(-\infty,1)$, $-$ sur $(1,2)$, $+$ sur $(2,\infty)$.
Maximum local en $x=1$ : $g(1) = 2-9+12-1 = 4$.
Minimum local en $x=2$ : $g(2) = 16-36+24-1 = 3$.
3. $h'(x) = 4x^3-16x = 4x(x-2)(x+2)$. Points critiques dans $[-3,3]$: $x = -2, 0, 2$.
$h(-3)=81-72=9$, $h(-2)=16-32=-16$, $h(0)=0$, $h(2)=-16$, $h(3)=9$.
Maximum absolu : $\mathbf{9}$ (en $x=\pm 3$). Minimum absolu : $\mathbf{-16}$ (en $x=\pm 2$).
4. Périmètre : $2x+2y=120 \Rightarrow y=60-x$. Aire $A = x(60-x) = 60x-x^2$. $A'=60-2x=0 \Rightarrow x=30$. Aire max $= 30\times 30 = \mathbf{900 \text{ m}^2}$.
5. $R = p(400-2p) = 400p - 2p^2$. $R' = 400-4p = 0 \Rightarrow p = \mathbf{100}$. $q = 200$, $R_{\max} = 20\,000$.
6. $V = \pi r^2 h = 500\pi \Rightarrow h = \dfrac{500}{r^2}$.
Matériau : $S = \pi r^2 + 2\pi r h = \pi r^2 + \dfrac{1000\pi}{r}$.
$S' = 2\pi r - \dfrac{1000\pi}{r^2} = 0 \Rightarrow 2r^3 = 1000 \Rightarrow r = \sqrt[3]{500} \approx 7{,}94$ cm.
$h = \dfrac{500}{r^2} \approx 7{,}94$ cm. Le rayon et la hauteur sont égaux.

6.4 Analyse complète d'une fonction

💡 Étapes d'une analyse complète

  1. Domaine de définition.
  2. Parité : paire ($f(-x)=f(x)$), impaire ($f(-x)=-f(x)$), ou ni l'un ni l'autre.
  3. Zéros : résoudre $f(x)=0$.
  4. Asymptotes : verticales ($\lim_{x\to a}\!=\!\pm\infty$), horizontales ($\lim_{x\to\pm\infty}$).
  5. Croissance/décroissance : tableau de signes de $f'$.
  6. Extrema locaux : points critiques, test de la 1re dérivée.
  7. Concavité : tableau de signes de $f''$.
  8. Points d'inflexion : où $f''=0$ avec changement de signe.
  9. Esquisse de la courbe.

📌 Exemple 1 — Analyse complète d'une fonction rationnelle

Analyser complètement $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}$.

Solution :
Dom. $x \neq \pm 2$ : $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.
Parité $f(-x) = \dfrac{(-x)^2}{(-x)^2-4} = f(x)$ : fonction paire (symétrie par rapport à l'axe $y$).
Zéros $f(x)=0 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0$.
Asymptotes
  • Verticales : $x=2$ et $x=-2$ (dénominateur nul).
  • Horizontale : $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2-4} = 1$ : asymptote $y=1$.
$f'$ $f'(x) = \dfrac{2x(x^2-4) - x^2(2x)}{(x^2-4)^2} = \dfrac{-8x}{(x^2-4)^2}$
$x$$(-\infty,-2)$$-2$$(-2,0)$$0$$(0,2)$$2$$(2,\infty)$
$f'$+—+0−—−
$f$↗A.V.↗max↘A.V.↘
Ext. Maximum local en $x=0$ : $f(0) = 0$.
$f''$ $f''(x) = \dfrac{8(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}$. Concave vers le haut sur $(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$, vers le bas sur $(-2,2)$. Pas de point d'inflexion (discontinuités en $\pm2$).

📌 Exemple 2 — Analyse d'un polynôme cubique

Analyser complètement $g(x) = x^3 - 3x + 2$.

Solution :
Dom. $\mathbb{R}$.
Zéros $g(x) = (x-1)^2(x+2)$. Zéros : $x = 1$ (double) et $x = -2$.
$g'$ $g'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1)$. Points critiques : $x=\pm 1$.
$x$$(-\infty,-1)$$-1$$(-1,1)$$1$$(1,\infty)$
$g'$+0−0+
$g$↗max $g(-1)=4$↘min $g(1)=0$↗
$g''$ $g''(x) = 6x$. Concave vers le haut sur $(0,\infty)$, vers le bas sur $(-\infty,0)$. Point d'inflexion en $x=0$ : $(0, 2)$.

7. Résumé des formules de dérivation Cégep

Fonction $f(x)$Dérivée $f'(x)$
$c$ (constante)$0$
$x^n$$nx^{n-1}$
$e^x$$e^x$
$a^x$$a^x \ln a$
$\ln x$$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$$\dfrac{1}{x \ln a}$
$\sin x$$\cos x$
$\cos x$$-\sin x$
$\tan x$$\sec^2 x$
$\csc x$$-\csc x \cot x$
$\sec x$$\sec x \tan x$
$\cot x$$-\csc^2 x$
Règles de combinaison
Produit$(fg)' = f'g + fg'$
Quotient$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
Chaîne$[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)$
Analyse de la fonction
$f'(x) > 0$$f$ est croissante
$f'(x) < 0$$f$ est décroissante
$f''(x) > 0$$f$ est concave vers le haut
$f''(x) < 0$$f$ est concave vers le bas
$f'(c) = 0$, $f'$ change de signeextremum local en $c$
$f''(c) = 0$, $f''$ change de signepoint d'inflexion en $c$
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