Calcul intégral

Cégep — Sciences de la nature — Mise à jour : mars 2026

📋 Table des matières

  1. Antidérivées (primitives) Cégep
  2. Intégrale définie et Théorème fondamental du calcul Cégep
  3. Substitution (changement de variable) Cégep
  4. Intégration par parties Cégep
  5. Applications de l'intégrale Cégep
  6. Résumé des formules essentielles

1. Antidérivées (primitives) Cégep

📖 Définition — Antidérivée

Une fonction $F$ est une antidérivée (ou primitive) de $f$ sur un intervalle $I$ si

$$F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I.$$

L'ensemble de toutes les antidérivées de $f$ s'écrit

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

où $C \in \mathbb{R}$ est la constante d'intégration, qui représente l'infinité de fonctions dont la dérivée est $f$.

Pourquoi la constante $C$ ?

Si $F'(x) = f(x)$, alors $(F(x) + C)' = f(x)$ pour tout réel $C$. Deux antidérivées d'une même fonction ne diffèrent que par une constante. La constante $C$ est déterminée lorsqu'une condition initiale est donnée.

Table des antidérivées de base

Fonction $f(x)$ Antidérivée $F(x) + C$ Condition
$x^n$$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$$n \neq -1$
$\dfrac{1}{x}$$\ln|x| + C$$x \neq 0$
$e^x$$e^x + C$—
$a^x$$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$$a > 0,\; a \neq 1$
$\sin x$$-\cos x + C$—
$\cos x$$\sin x + C$—
$\sec^2 x$$\tan x + C$—
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$\arcsin x + C$$|x| < 1$
$\dfrac{1}{1+x^2}$$\arctan x + C$—

💡 Propriétés de linéarité

Pour tous réels $k$, $\alpha$, $\beta$ et fonctions $f$, $g$ :

Exemples résolus

Exemple 1 — Polynôme

Calculez $\displaystyle\int (3x^4 - 5x^2 + 2)\,dx$.

Solution :
1Appliquer la règle de la puissance terme par terme.
$$\int (3x^4 - 5x^2 + 2)\,dx = 3\cdot\frac{x^5}{5} - 5\cdot\frac{x^3}{3} + 2x + C = \frac{3x^5}{5} - \frac{5x^3}{3} + 2x + C$$

Exemple 2 — Fonctions trigonométriques

Calculez $\displaystyle\int (4\cos x - 3\sin x)\,dx$.

Solution : $$\int (4\cos x - 3\sin x)\,dx = 4\sin x + 3\cos x + C$$

Exemple 3 — Exponentielle et puissance

Calculez $\displaystyle\int \left(e^x + \frac{1}{x} + \sqrt{x}\right)dx$.

Solution :
1Réécrire $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
$$\int \left(e^x + \frac{1}{x} + x^{1/2}\right)dx = e^x + \ln|x| + \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = e^x + \ln|x| + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

Exemple 4 — Simplification avant intégration

Calculez $\displaystyle\int \frac{x^3 - 2x + 1}{x}\,dx$.

Solution :
1Diviser chaque terme par $x$ avant d'intégrer.
$$\int \left(x^2 - 2 + \frac{1}{x}\right)dx = \frac{x^3}{3} - 2x + \ln|x| + C$$

Exemple 5 — Combinaison

Calculez $\displaystyle\int \left(3e^x - \frac{4}{1+x^2} + 5\sec^2 x\right)dx$.

Solution : $$3e^x - 4\arctan x + 5\tan x + C$$

Problèmes à valeur initiale

📖 Problème à valeur initiale

Étant donné $F'(x) = f(x)$ et une condition $F(a) = b$, on détermine $C$ en substituant $x = a$ dans $F(x) = \int f(x)\,dx + C$.

Exemple — Valeur initiale

Trouvez $F(x)$ tel que $F'(x) = 6x^2 - 4x + 1$ et $F(0) = 3$.

Solution :
1Calculer l'antidérivée générale : $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C$.
2Appliquer $F(0) = 3$ : $2(0)^3 - 2(0)^2 + 0 + C = 3$, donc $C = 3$.
3Conclure : $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 3$.

✍ Exercices — Antidérivées

  1. $\displaystyle\int (7x^3 - 4x + 9)\,dx$
  2. $\displaystyle\int \left(\frac{2}{\sqrt{x}} + 3x^{4/3}\right)dx$
  3. $\displaystyle\int (5\sin x + 2\cos x)\,dx$
  4. $\displaystyle\int \left(4e^x - \frac{3}{x}\right)dx$
  5. $\displaystyle\int \frac{x^4 - x^2 + 3}{x^2}\,dx$
  6. $\displaystyle\int \left(\frac{5}{1+x^2} + 2e^x\right)dx$
  7. Trouvez $F(x)$ si $F'(x) = 4x^3 - 6x$ et $F(1) = 2$.
  8. Trouvez $G(x)$ si $G'(x) = \cos x$ et $G(\pi) = 0$.
Afficher les solutions
1. $\dfrac{7x^4}{4} - 2x^2 + 9x + C$
2. $\displaystyle\int 2x^{-1/2}\,dx + \int 3x^{4/3}\,dx = 4x^{1/2} + \frac{9}{7}x^{7/3} + C$
3. $-5\cos x + 2\sin x + C$
4. $4e^x - 3\ln|x| + C$
5. Diviser : $\displaystyle\int \left(x^2 - 1 + \frac{3}{x^2}\right)dx = \frac{x^3}{3} - x - \frac{3}{x} + C$
6. $5\arctan x + 2e^x + C$
7. $F(x) = x^4 - 3x^2 + C$. $F(1) = 1 - 3 + C = 2 \Rightarrow C = 4$. Donc $F(x) = x^4 - 3x^2 + 4$.
8. $G(x) = \sin x + C$. $G(\pi) = \sin\pi + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$. Donc $G(x) = \sin x$.

2. Intégrale définie et Théorème fondamental du calcul Cégep

Idée intuitive : sommes de Riemann

L'intégrale définie $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ représente l'aire algébrique comprise entre la courbe $y = f(x)$ et l'axe des $x$ sur l'intervalle $[a, b]$. On l'approche par des rectangles de plus en plus fins (sommes de Riemann) dont la largeur $\Delta x \to 0$.

Déplacez les curseurs a et b pour modifier les bornes d'intégration. La région ombragée représente $\int_a^b f(x)\,dx$ avec $f(x) = \sin(x) + 1.5$.

INTG·1Figure 1 — Aire sous la courbe $f(x) = \sin(x) + 1{,}5$ entre les bornes $a$ et $b$ (région ombragée).

📖 Intégrale définie

Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \quad \Delta x = \frac{b-a}{n}.$$

L'aire est positive quand $f(x) > 0$ et négative quand $f(x) < 0$.

Propriétés de l'intégrale définie

🏆 Théorème fondamental du calcul (TFC)

Partie 1 — Dérivée d'une intégrale à borne variable :

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$, alors

$$G'(x) = \frac{d}{dx}\left[\int_a^x f(t)\,dt\right] = f(x).$$

Partie 2 — Calcul d'une intégrale définie :

Si $F$ est une antidérivée de $f$ sur $[a,b]$, alors

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b.$$

Exemples résolus

Exemple 1 — Intégrale d'un polynôme

Calculez $\displaystyle\int_1^3 (2x^2 - x + 4)\,dx$.

Solution :
1Trouver une antidérivée : $F(x) = \dfrac{2x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + 4x$.
2Appliquer le TFC (Partie 2).
$$\left[\frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x\right]_1^3 = \left(18 - \frac{9}{2} + 12\right) - \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 4\right)$$ $$= \frac{57}{2} - \frac{25}{6} = \frac{171}{6} - \frac{25}{6} = \frac{146}{6} = \frac{73}{3}$$

Exemple 2 — Fonctions trigonométriques

Calculez $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$.

Solution : $$\Big[\sin x\Big]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$$

Exemple 3 — Exponentielle

Calculez $\displaystyle\int_0^2 3e^x\,dx$.

Solution : $$3\Big[e^x\Big]_0^2 = 3(e^2 - e^0) = 3(e^2 - 1) \approx 3(7{,}389 - 1) = 3(6{,}389) \approx 19{,}17$$

Exemple 4 — TFC Partie 1

Soit $G(x) = \displaystyle\int_1^x (t^2 + \sin t)\,dt$. Trouvez $G'(x)$.

Solution :

Par le TFC Partie 1, $G'(x) = x^2 + \sin x$.

Exemple 5 — TFC Partie 1 avec règle en chaîne

Soit $H(x) = \displaystyle\int_0^{x^2} e^{t}\,dt$. Trouvez $H'(x)$.

Solution :
1Poser $u = x^2$, donc $H(x) = G(u)$ avec $G'(u) = e^u$.
2Par la règle en chaîne : $H'(x) = e^{x^2} \cdot 2x$.

✍ Exercices — Intégrale définie et TFC

  1. $\displaystyle\int_0^4 (3x - 1)\,dx$
  2. $\displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\,dx$
  3. $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$
  4. $\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3 - x)\,dx$
  5. $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$
  6. $\displaystyle\int_0^1 (e^x + 2x)\,dx$
  7. Soit $F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^3 - 2t)\,dt$. Trouvez $F'(x)$.
  8. Soit $G(x) = \displaystyle\int_0^{\sqrt{x}} \cos t\,dt$. Trouvez $G'(x)$.
Afficher les solutions
1. $\left[\dfrac{3x^2}{2} - x\right]_0^4 = (24 - 4) - 0 = 20$
2. $\left[\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4 = \dfrac{2}{3}(8) - \dfrac{2}{3}(1) = \dfrac{14}{3}$
3. $\Big[-\cos x\Big]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$
4. $f$ est impaire sur $[-1,1]$ donc l'intégrale vaut $0$.
5. $\Big[\ln x\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$
6. $\Big[e^x + x^2\Big]_0^1 = (e + 1) - (1 + 0) = e$
7. Par TFC Partie 1 : $F'(x) = x^3 - 2x$
8. Règle en chaîne : $G'(x) = \cos(\sqrt{x}) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

3. Substitution (changement de variable) Cégep

📖 Méthode de substitution

Si l'intégrale contient une composition de fonctions $f(g(x)) \cdot g'(x)$, on pose $u = g(x)$ :

$$du = g'(x)\,dx \quad \Longrightarrow \quad \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

Pour une intégrale définie, les bornes changent : si $u = g(x)$, alors $x = a \to u = g(a)$ et $x = b \to u = g(b)$.

💡 Comment choisir $u$ ?

Exemples résolus

Exemple 1 — Puissance composée

Calculez $\displaystyle\int (2x+1)^5\,dx$.

Solution :
1Poser $u = 2x+1$, donc $du = 2\,dx$, soit $dx = \dfrac{du}{2}$.
2Substituer.
$$\int u^5 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{(2x+1)^6}{12} + C$$

Exemple 2 — Racine carrée

Calculez $\displaystyle\int x\sqrt{x^2+3}\,dx$.

Solution :
1Poser $u = x^2 + 3$, donc $du = 2x\,dx$, soit $x\,dx = \dfrac{du}{2}$.
$$\int \sqrt{u}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{(x^2+3)^{3/2}}{3} + C$$

Exemple 3 — Fraction

Calculez $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$.

Solution :
1Poser $u = x^2+1$, donc $du = 2x\,dx$.
$$\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln(x^2+1) + C$$

(Ici $x^2+1 > 0$ toujours, donc $\ln(x^2+1) + C$.)

Exemple 4 — Puissance de sinus

Calculez $\displaystyle\int \sin^3 x \cos x\,dx$.

Solution :
1Poser $u = \sin x$, donc $du = \cos x\,dx$.
$$\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C$$

Exemple 5 — Intégrale définie avec substitution

Calculez $\displaystyle\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$.

Solution :
1Poser $u = x^2+1$, $du = 2x\,dx$.
2Changer les bornes : $x = 0 \Rightarrow u = 1$ ; $x = 1 \Rightarrow u = 2$.
$$\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

✍ Exercices — Substitution

  1. $\displaystyle\int (3x-2)^4\,dx$
  2. $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$
  3. $\displaystyle\int e^{5x}\,dx$
  4. $\displaystyle\int \cos(3x+1)\,dx$
  5. $\displaystyle\int x^2(x^3-1)^6\,dx$
  6. $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$
  7. $\displaystyle\int_0^2 x e^{x^2}\,dx$
  8. $\displaystyle\int_0^{\pi/6} \cos x \sin^2 x\,dx$
Afficher les solutions
1. $u = 3x-2$, $du = 3\,dx$ : $\dfrac{(3x-2)^5}{15} + C$
2. $u = 1+x^2$, $du = 2x\,dx$ : $\sqrt{1+x^2} + C$
3. $u = 5x$, $du = 5\,dx$ : $\dfrac{e^{5x}}{5} + C$
4. $u = 3x+1$, $du = 3\,dx$ : $\dfrac{\sin(3x+1)}{3} + C$
5. $u = x^3-1$, $du = 3x^2\,dx$ : $\dfrac{(x^3-1)^7}{21} + C$
6. $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x}\,dx$ : $\dfrac{(\ln x)^2}{2} + C$
7. $u = x^2$, $du = 2x\,dx$ ; bornes $0 \to 0$, $2 \to 4$ : $\dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_0^4 = \dfrac{e^4 - 1}{2}$
8. $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$ ; bornes $0 \to 0$, $\pi/6 \to 1/2$ : $\left[\dfrac{u^3}{3}\right]_0^{1/2} = \dfrac{1}{24}$

4. Intégration par parties Cégep

🏆 Formule — Intégration par parties

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Découle de la règle de dérivation du produit : $(uv)' = u'v + uv'$, intégrée des deux côtés.

💡 Règle LIATE — Comment choisir $u$ ?

Choisir $u$ selon la priorité suivante (du premier au dernier) :

  1. Logarithmique (ex. $\ln x$, $\log x$)
  2. Inverse trigonométrique (ex. $\arctan x$, $\arcsin x$)
  3. Algébrique (ex. $x^n$, polynôme)
  4. Trigonométrique (ex. $\sin x$, $\cos x$)
  5. Exponentielle (ex. $e^x$, $a^x$)

Le choix de $dv$ est tout ce qui reste.

Exemples résolus

Exemple 1 — $x e^x$

Calculez $\displaystyle\int x e^x\,dx$.

Solution :
1LIATE : $u = x$ (algébrique), $dv = e^x\,dx$.
2Donc $du = dx$ et $v = e^x$.
$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

Exemple 2 — $x \sin x$

Calculez $\displaystyle\int x \sin x\,dx$.

Solution :
1$u = x$, $dv = \sin x\,dx$ donc $du = dx$, $v = -\cos x$.
$$\int x \sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$$

Exemple 3 — $\ln x$

Calculez $\displaystyle\int \ln x\,dx$.

Solution :
1LIATE : $u = \ln x$, $dv = dx$ donc $du = \dfrac{1}{x}\,dx$, $v = x$.
$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$$

Exemple 4 — Intégration par parties répétée

Calculez $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$.

Solution :
1Premier tour : $u = x^2$, $dv = e^x\,dx$, donc $du = 2x\,dx$, $v = e^x$.
$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2\int x e^x\,dx$$
2Deuxième tour (Exemple 1) : $\int x e^x\,dx = e^x(x-1) + C$.
$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2e^x(x-1) + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$

Exemple 5 — Intégration cyclique

Calculez $\displaystyle\int e^x \sin x\,dx$.

Solution :
1Premier tour : $u = e^x$, $dv = \sin x\,dx$, donc $du = e^x\,dx$, $v = -\cos x$.
$$I = -e^x\cos x + \int e^x\cos x\,dx$$
2Deuxième tour : $u = e^x$, $dv = \cos x\,dx$, $v = \sin x$.
$$I = -e^x\cos x + e^x\sin x - \int e^x\sin x\,dx = -e^x\cos x + e^x\sin x - I$$
3Résoudre pour $I$ : $2I = e^x(\sin x - \cos x)$.
$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$

✍ Exercices — Intégration par parties

  1. $\displaystyle\int x e^{-x}\,dx$
  2. $\displaystyle\int x \cos x\,dx$
  3. $\displaystyle\int x \ln x\,dx$
  4. $\displaystyle\int \arctan x\,dx$
  5. $\displaystyle\int x^2 \sin x\,dx$
  6. $\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\,dx$
Afficher les solutions
1. $u = x$, $dv = e^{-x}dx$, $v = -e^{-x}$ : $-xe^{-x} + \int e^{-x}dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}(x+1)+C$
2. $u = x$, $dv = \cos x\,dx$, $v = \sin x$ : $x\sin x - \int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$
3. $u = \ln x$, $dv = x\,dx$, $v = x^2/2$ : $\dfrac{x^2\ln x}{2} - \dfrac{x^2}{4} + C$
4. $u = \arctan x$, $dv = dx$, $v = x$ : $x\arctan x - \dfrac{\ln(1+x^2)}{2} + C$
5. Deux intégrations : $-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$
6. $u = (\ln x)^2$, $dv = dx$ ; puis $u = \ln x$, $dv = dx$ : $\left[x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x\right]_1^e = (e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2) = e - 2$

5. Applications de l'intégrale Cégep

5.1 Aire entre deux courbes

📖 Formule — Aire entre $f$ et $g$

Si $f(x) \geq g(x)$ sur $[a, b]$, l'aire de la région comprise entre les deux courbes est

$$A = \int_a^b \bigl[f(x) - g(x)\bigr]\,dx.$$

Si les courbes se croisent sur $[a,b]$, on subdivise l'intervalle aux points d'intersection et on prend la valeur absolue de chaque partie.

Exemple 1 — Deux paraboles

Trouvez l'aire entre $f(x) = x+2$ et $g(x) = x^2$.

Solution :
1Trouver les intersections : $x+2 = x^2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0$, donc $x = -1$ et $x = 2$.
2Sur $[-1, 2]$, $x+2 \geq x^2$.
$$A = \int_{-1}^{2} (x+2-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$$ $$= \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

Exemple 2 — Parabole et droite

Trouvez l'aire entre $y = 4 - x^2$ et $y = 0$ (l'axe des $x$).

Solution :
1Intersections : $4-x^2=0 \Rightarrow x = \pm 2$.
$$A = \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}$$

Exemple 3 — Intégration selon $y$

Trouvez l'aire de la région délimitée par $x = y^2$ et $x = y + 2$.

Solution :
1Intersections : $y^2 = y+2 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow y = -1,\; 2$.
2Sur $[-1,2]$, $y+2 \geq y^2$.
$$A = \int_{-1}^{2}(y+2-y^2)\,dy = \left[\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{9}{2}$$

✍ Exercices — Aire entre deux courbes

  1. Aire entre $y = x^2$ et $y = 2x$.
  2. Aire entre $y = \sin x$ et $y = \cos x$ sur $[0, \pi/4]$.
  3. Aire entre $y = x^3$ et $y = x$ pour $x \in [-1, 1]$.
  4. Aire entre $y = e^x$ et $y = x + 1$ sur $[0, 1]$.
Afficher les solutions
1. Intersections : $x=0, 2$. $A = \int_0^2(2x-x^2)dx = \left[x^2 - x^3/3\right]_0^2 = 4 - 8/3 = \mathbf{4/3}$
2. Sur $[0,\pi/4]$, $\cos x \geq \sin x$. $A = \int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)dx = \left[\sin x + \cos x\right]_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1$
3. $x^3 - x \leq 0$ sur $[0,1]$ et $\geq 0$ sur $[-1,0]$. Par symétrie de fonction impaire : $A = 2\int_0^1(x-x^3)dx = 2\left[x^2/2-x^4/4\right]_0^1 = 2(1/4) = \mathbf{1/2}$
4. $e^x \geq x+1$ sur $[0,1]$. $A = \int_0^1(e^x-x-1)dx = \left[e^x - x^2/2 - x\right]_0^1 = (e-1/2-1)-1 = e - 5/2 \approx 0{,}218$

5.2 Volume de solides de révolution

📖 Méthode des disques et des rondelles

Disques (rotation autour de l'axe des $x$) :

$$V = \pi \int_a^b \bigl[f(x)\bigr]^2\,dx$$

Rondelles (washer method) : Si la région est comprise entre $f(x)$ (courbe externe) et $g(x)$ (courbe interne), $f(x) \geq g(x) \geq 0$ :

$$V = \pi \int_a^b \Bigl(\bigl[f(x)\bigr]^2 - \bigl[g(x)\bigr]^2\Bigr)\,dx$$

Exemple 1 — Méthode des disques

Calculez le volume du solide engendré par la rotation de $y = \sqrt{x}$, pour $0 \leq x \leq 4$, autour de l'axe des $x$.

Solution : $$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi$$

Exemple 2 — Méthode des rondelles

Trouvez le volume du solide obtenu en faisant tourner autour de l'axe des $x$ la région entre $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0,1]$.

Solution :
1Sur $[0,1]$, $x \geq x^2$.
$$V = \pi\int_0^1\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx = \pi\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$

Exemple 3 — Rotation autour de l'axe des $y$

Volume du solide engendré par $y = x^2$, $0 \leq y \leq 4$, autour de l'axe des $y$.

Solution :
1Exprimer $x$ en fonction de $y$ : $x = \sqrt{y}$.
$$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{y})^2\,dy = \pi\int_0^4 y\,dy = \pi\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$$

✍ Exercices — Volumes de révolution

  1. Volume du solide obtenu en faisant tourner $y = x^2$ sur $[0,3]$ autour de l'axe des $x$.
  2. Volume du solide obtenu en faisant tourner $y = e^x$ sur $[0,1]$ autour de l'axe des $x$.
  3. Volume entre $y = \sqrt{x}$ et $y = x$ sur $[0,1]$, rotation autour de l'axe des $x$ (rondelles).
  4. Volume du solide obtenu en faisant tourner $y = \sin x$ sur $[0,\pi]$ autour de l'axe des $x$.
Afficher les solutions
1. $\pi\int_0^3 x^4\,dx = \pi\left[x^5/5\right]_0^3 = \dfrac{243\pi}{5}$
2. $\pi\int_0^1 e^{2x}\,dx = \pi\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{\pi(e^2-1)}{2}$
3. Sur $[0,1]$, $\sqrt{x} \geq x$. $V = \pi\int_0^1(x - x^2)\,dx = \pi\left[x^2/2-x^3/3\right]_0^1 = \dfrac{\pi}{6}$
4. $\pi\int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \pi\int_0^\pi \dfrac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \pi\left[\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4}\right]_0^\pi = \dfrac{\pi^2}{2}$

5.3 Équations différentielles à variables séparables

📖 Équations à variables séparables

Une équation différentielle (ED) de la forme

$$\frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y)$$

est dite à variables séparables. On résout en isolant les variables :

$$\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx \quad \Longrightarrow \quad \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx.$$

On obtient d'abord la solution générale (avec constante $C$), puis la solution particulière en appliquant une condition initiale.

Exemple 1 — Solution générale

Résoudre $\dfrac{dy}{dx} = 2xy$.

Solution :
1Séparer : $\dfrac{dy}{y} = 2x\,dx$.
2Intégrer : $\ln|y| = x^2 + C_1$.
3Exponentier : $|y| = e^{x^2 + C_1} = e^{C_1}e^{x^2}$, soit $y = Ce^{x^2}$ ($C \in \mathbb{R}$).

Exemple 2 — Solution particulière (croissance exponentielle)

Résoudre $\dfrac{dy}{dx} = 3y$ avec $y(0) = 5$.

Solution :
1Séparer et intégrer : $\ln|y| = 3x + C_1$, donc $y = Ce^{3x}$.
2Appliquer $y(0)=5$ : $C = 5$.
3Solution : $y = 5e^{3x}$.

Exemple 3 — Refroidissement de Newton

La loi de refroidissement de Newton dit que $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}})$, avec $T_{\text{amb}} = 20°\text{C}$, $k = 0{,}1\,\text{min}^{-1}$ et $T(0) = 80°\text{C}$. Trouvez $T(t)$.

Solution :
1Poser $u = T - 20$, donc $\dfrac{du}{dt} = -0{,}1\,u$.
2Solution générale : $u = Ce^{-0{,}1t}$, soit $T = 20 + Ce^{-0{,}1t}$.
3$T(0) = 80$ : $C = 60$. Donc $T(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}$.

✍ Exercices — Équations différentielles

  1. Résoudre $\dfrac{dy}{dx} = -5y$ avec $y(0) = 3$.
  2. Résoudre $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$ avec $y(0) = 2$.
  3. Résoudre $\dfrac{dy}{dx} = y^2 x$ (solution générale).
  4. Une population croît à un taux proportionnel à sa taille. Si $P(0) = 1000$ et $P(2) = 1600$, trouvez $P(t)$.
Afficher les solutions
1. $dy/y = -5\,dx \Rightarrow \ln|y| = -5x + C_1 \Rightarrow y = Ce^{-5x}$. $y(0) = 3 \Rightarrow C = 3$. Solution : $y = 3e^{-5x}$.
2. $y\,dy = x\,dx \Rightarrow y^2/2 = x^2/2 + C$. $y(0)=2 \Rightarrow C = 2$. Solution : $y^2 = x^2 + 4$, soit $y = \sqrt{x^2+4}$ (branche positive).
3. $dy/y^2 = x\,dx \Rightarrow -1/y = x^2/2 + C \Rightarrow y = -\dfrac{1}{x^2/2+C} = \dfrac{-2}{x^2 + K}$ où $K = 2C$.
4. $P(t) = 1000e^{kt}$. $P(2) = 1600 \Rightarrow e^{2k} = 1{,}6 \Rightarrow k = \dfrac{\ln 1{,}6}{2} \approx 0{,}235$. Solution : $P(t) = 1000e^{0{,}235t}$.

6. Résumé des formules essentielles Cégep

Formule Expression Remarque
Antidérivée — puissance $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $n \neq -1$
Antidérivée — $1/x$ $\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$ —
TFC Partie 2 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ $F' = f$
TFC Partie 1 $\dfrac{d}{dx}\left[\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\right] = f(x)$ —
Substitution $\displaystyle\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ $u = g(x)$
Intégration par parties $\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$ Règle LIATE
Aire entre deux courbes $A = \displaystyle\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx$ $f \geq g$
Volume — disques $V = \pi\displaystyle\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ Rotation / axe $x$
Volume — rondelles $V = \pi\displaystyle\int_a^b \left([f(x)]^2-[g(x)]^2\right)dx$ $f \geq g \geq 0$
Variables séparables $\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$, puis intégrer $dy/dx = f(x)g(y)$

⚠ Erreurs fréquentes à éviter

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