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Algèbre linéaire — Cégep

Cégep — Mathématiques NYA / 201-NYA-05 — Mise à jour : mars 2026

Ce cours couvre les fondements de l'algèbre linéaire enseignés au Cégep québécois (cours 201-NYA-05 et compléments). Vous y trouverez les vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$, les opérations matricielles, les déterminants, la résolution de systèmes par l'élimination de Gauss-Jordan, l'inversion de matrices et les transformations linéaires. Chaque section contient des exemples complets et des exercices avec solutions détaillées.

1. Vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ Cégep

1.1 Définition et notation

Définition — Vecteur

Un vecteur est une grandeur possédant à la fois une magnitude (longueur) et une direction. On note un vecteur $\vec{v} = (a, b)$ dans $\mathbb{R}^2$ ou $\vec{v} = (a, b, c)$ dans $\mathbb{R}^3$. On utilise aussi la notation $\langle a, b \rangle$ ou $\langle a, b, c \rangle$.

Géométriquement, un vecteur est représenté par une flèche partant d'un point d'origine vers un point terminal. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour composantes $(x_B - x_A,\; y_B - y_A)$.

1.2 Opérations sur les vecteurs

Soient $\vec{u} = (a, b)$, $\vec{v} = (c, d)$ dans $\mathbb{R}^2$ et $k \in \mathbb{R}$ :

Les vecteurs de base standard dans $\mathbb{R}^3$ sont : $\vec{i} = (1,0,0)$, $\vec{j} = (0,1,0)$, $\vec{k} = (0,0,1)$. Tout vecteur s'écrit $\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$.

Ajustez les composantes pour explorer l'addition de vecteurs. Les curseurs a, b contrôlent $\vec{u}=(a,b)$ (bleu) et c, d contrôlent $\vec{v}=(c,d)$ (cyan). La diagonale verte montre $\vec{u}+\vec{v}$.

LINR·1Figure 1 — Addition de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : loi du parallélogramme.

1.3 Produit scalaire (dot product)

Définition — Produit scalaire

Pour $\vec{u} = (a_1, b_1)$ et $\vec{v} = (a_2, b_2)$ dans $\mathbb{R}^2$ : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1 a_2 + b_1 b_2$$ Dans $\mathbb{R}^3$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2$.

Interprétation géométrique : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$$ où $\theta$ est l'angle entre les deux vecteurs.

Perpendicularité : $\vec{u} \perp \vec{v}$ si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

1.4 Produit vectoriel (cross product) dans $\mathbb{R}^3$

Définition — Produit vectoriel

Pour $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$ et $\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)$ :

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = (b_1 c_2 - c_1 b_2)\,\vec{i} - (a_1 c_2 - c_1 a_2)\,\vec{j} + (a_1 b_2 - b_1 a_2)\,\vec{k}$$

Le résultat est un vecteur perpendiculaire à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$. La règle de la main droite indique sa direction. $|\vec{u} \times \vec{v}|$ est égal à l'aire du parallélogramme formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

1.5 Exemples résolus

Exemple 1 — Addition de vecteurs et magnitude

Soient $\vec{u} = (3, -2)$ et $\vec{v} = (-1, 5)$. Calculer $\vec{u} + \vec{v}$ et $|\vec{u}|$.

Solution :

$\vec{u} + \vec{v} = (3 + (-1),\; -2 + 5) = (2, 3)$

$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Exemple 2 — Vecteur unitaire

Trouver le vecteur unitaire dans la direction de $\vec{w} = (4, -3)$.

Solution :

$|\vec{w}| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$\hat{w} = \dfrac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \left(\dfrac{4}{5},\; \dfrac{-3}{5}\right)$

Vérification : $|\hat{w}| = \sqrt{(4/5)^2 + (-3/5)^2} = \sqrt{16/25 + 9/25} = 1$ ✓

Exemple 3 — Produit scalaire et angle

Trouver l'angle entre $\vec{a} = (1, 2)$ et $\vec{b} = (3, -1)$.

Solution :

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-1) = 3 - 2 = 1$

$|\vec{a}| = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$,   $|\vec{b}| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$

$\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{50}} = \dfrac{1}{5\sqrt{2}}$

$\theta = \arccos\!\left(\dfrac{1}{5\sqrt{2}}\right) \approx 81{,}87°$

Exemple 4 — Vérifier la perpendicularité

Les vecteurs $\vec{p} = (2, 3, -1)$ et $\vec{q} = (1, -1, -1)$ sont-ils perpendiculaires ?

Solution :

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (2)(1) + (3)(-1) + (-1)(-1) = 2 - 3 + 1 = 0$

Puisque $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$, les vecteurs sont perpendiculaires. ✓

Exemple 5 — Produit vectoriel

Calculer $\vec{u} \times \vec{v}$ pour $\vec{u} = (1, 2, 3)$ et $\vec{v} = (4, 5, 6)$.

Solution : $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} (2)(6)-(3)(5) \\ (3)(4)-(1)(6) \\ (1)(5)-(2)(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12-15 \\ 12-6 \\ 5-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$

Vérification : $\vec{u} \cdot (\vec{u}\times\vec{v}) = (1)(-3)+(2)(6)+(3)(-3) = -3+12-9 = 0$ ✓

Exercices — Vecteurs

  1. Calculer $\vec{u} - \vec{v}$ et $|\vec{u} - \vec{v}|$ pour $\vec{u} = (5, 1)$ et $\vec{v} = (2, -3)$.
  2. Trouver le vecteur unitaire dans la direction de $\vec{w} = (0, -7, 24)$.
  3. Déterminer si $(2,-3,1)$ et $(1,2,4)$ sont perpendiculaires.
  4. Calculer l'angle entre $\vec{a} = (1,0)$ et $\vec{b} = (1,1)$.
  5. Calculer $\vec{p} \times \vec{q}$ pour $\vec{p} = (2,0,1)$ et $\vec{q} = (0,3,1)$.
  6. Un vecteur $\vec{v}$ a une magnitude de 5 et fait un angle de $30°$ avec l'axe des $x$. Écrire ses composantes.
  7. Prouver que $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + |\vec{v}|^2$.
  8. Calculer l'aire du parallélogramme défini par $\vec{a} = (3,0,0)$ et $\vec{b} = (0,2,0)$.
Voir les solutions
1. $\vec{u}-\vec{v} = (3, 4)$;   $|\vec{u}-\vec{v}| = \sqrt{9+16} = 5$.
2. $|\vec{w}| = \sqrt{0+49+576} = \sqrt{625} = 25$. Donc $\hat{w} = (0,\, -7/25,\, 24/25)$.
3. $(2)(1)+(-3)(2)+(1)(4) = 2-6+4 = 0$. Oui, perpendiculaires.
4. $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, donc $\theta = 45°$.
5. $\vec{p}\times\vec{q} = \begin{pmatrix}(0)(1)-(1)(3)\\(1)(0)-(2)(1)\\(2)(3)-(0)(0)\end{pmatrix} = (-3,\,-2,\,6)$.
6. $v_x = 5\cos 30° = \frac{5\sqrt{3}}{2}$, $v_y = 5\sin 30° = \frac{5}{2}$. Donc $\vec{v} = \left(\frac{5\sqrt{3}}{2},\, \frac{5}{2}\right)$.
7. $|\vec{u}+\vec{v}|^2 = (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2$. ✓
8. $\vec{a}\times\vec{b} = (0,0,6)$, aire $= |(0,0,6)| = 6$.

2. Matrices et opérations Cégep

2.1 Définition et types

Définition — Matrice

Une matrice $A$ de taille $m \times n$ est un tableau rectangulaire de $m$ lignes et $n$ colonnes. L'élément à la ligne $i$, colonne $j$ est noté $a_{ij}$. $$A = [a_{ij}] = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

TypeDescriptionExemple ($2\times 2$)
Matrice carrée$m = n$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
Matrice identité $I_n$1 sur la diagonale, 0 ailleurs$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Matrice nulle $O$Tous les éléments sont 0$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
Matrice diagonaleÉléments hors diagonale nuls$\begin{pmatrix}3&0\\0&5\end{pmatrix}$
Matrice symétrique$A = A^T$$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$

2.2 Opérations matricielles

Addition/Soustraction (même taille) : $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Multiplication scalaire : $(kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}$

Multiplication matricielle ($A$ de taille $m\times p$, $B$ de taille $p\times n$) :

$$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj}$$

Le résultat a la taille $m\times n$. Attention : en général $AB \neq BA$.

Transposée : $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. On échange les lignes et les colonnes.

Propriété importante

La multiplication matricielle est non commutative : $AB \neq BA$ en général. Mais elle est associative : $(AB)C = A(BC)$, et distributive : $A(B+C) = AB + AC$.

2.3 Exemples résolus

Exemple 1 — Addition de matrices

Calculer $A + B$ pour $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}5&-1\\0&2\end{pmatrix}$.

Solution : $$A + B = \begin{pmatrix}1+5 & 2+(-1)\\3+0 & 4+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 1\\3 & 6\end{pmatrix}$$

Exemple 2 — Produit de matrices $2\times 2$

Calculer $AB$ pour $A = \begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1&4\\2&-1\end{pmatrix}$.

Solution : $$AB = \begin{pmatrix}(2)(1)+(1)(2) & (2)(4)+(1)(-1)\\(3)(1)+(0)(2) & (3)(4)+(0)(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 7\\3 & 12\end{pmatrix}$$

Exemple 3 — Produit $2\times 3$ par $3\times 2$

Calculer $AB$ pour $A = \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ (2×3) et $B = \begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}$ (3×2).

Solution : Le résultat est de taille $2\times 2$. $$AB = \begin{pmatrix}(1)(7)+(2)(9)+(3)(11) & (1)(8)+(2)(10)+(3)(12)\\(4)(7)+(5)(9)+(6)(11) & (4)(8)+(5)(10)+(6)(12)\end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix}7+18+33 & 8+20+36\\28+45+66 & 32+50+72\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}58 & 64\\139 & 154\end{pmatrix}$$

Exemple 4 — Transposée

Trouver $A^T$ pour $A = \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$.

Solution : On échange les lignes et les colonnes. $$A^T = \begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}$$

Exemple 5 — Vérification de $AI = A$

Vérifier que $AI = A$ pour $A = \begin{pmatrix}3&-1\\2&5\end{pmatrix}$.

Solution : $$AI = \begin{pmatrix}3&-1\\2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(3)(1)+(-1)(0) & (3)(0)+(-1)(1)\\(2)(1)+(5)(0) & (2)(0)+(5)(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&-1\\2&5\end{pmatrix} = A \checkmark$$

Exercices — Matrices

  1. Calculer $3A - 2B$ pour $A = \begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}-1&2\\0&3\end{pmatrix}$.
  2. Calculer $AB$ et $BA$ pour $A = \begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}$. Sont-ils égaux ?
  3. Calculer $A^2 = AA$ pour $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$.
  4. Trouver $A^T$ et vérifier que $(A^T)^T = A$ pour $A = \begin{pmatrix}2&-3&1\\0&4&-2\end{pmatrix}$.
  5. Calculer $(AB)^T$ et $B^T A^T$ pour $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Sont-ils égaux ?
  6. Montrer qu'une matrice symétrique vérifie $A = A^T$ avec $A = \begin{pmatrix}5&-3\\-3&2\end{pmatrix}$.
Voir les solutions
1. $3A - 2B = \begin{pmatrix}3&0\\6&-3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2&4\\0&6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&-4\\6&-9\end{pmatrix}$.
2. $AB = \begin{pmatrix}4&-1\\3&0\end{pmatrix}$;   $BA = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$. Non, $AB \neq BA$.
3. $A^2 = \begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}$.
4. $A^T = \begin{pmatrix}2&0\\-3&4\\1&-2\end{pmatrix}$. Puis $(A^T)^T = A$. ✓
5. $AB = \begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$, $(AB)^T = \begin{pmatrix}2&4\\1&3\end{pmatrix}$. $B^T A^T = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&4\\1&3\end{pmatrix}$. Égaux ✓ (propriété $(AB)^T = B^T A^T$).
6. $A^T = \begin{pmatrix}5&-3\\-3&2\end{pmatrix} = A$. ✓

3. Déterminants Cégep

3.1 Déterminant d'une matrice $2\times 2$

Formule — Déterminant $2\times 2$

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad - bc$$

Interprétation géométrique : $|\det A|$ est l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs-colonnes de $A$.

3.2 Déterminant d'une matrice $3\times 3$ — Développement selon la première ligne

Formule — Déterminant $3\times 3$

$$\det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix} = a\det\begin{pmatrix}e&f\\h&i\end{pmatrix} - b\det\begin{pmatrix}d&f\\g&i\end{pmatrix} + c\det\begin{pmatrix}d&e\\g&h\end{pmatrix}$$ $$= a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$$

Interprétation : $|\det A|$ est le volume du parallélépipède formé par les vecteurs-colonnes.

3.3 Propriétés des déterminants

3.4 Règle de Cramer (systèmes $2\times 2$)

Règle de Cramer

Pour le système $\begin{cases}ax + by = e\\cx + dy = f\end{cases}$, si $D = \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \neq 0$ :

$$x = \frac{D_x}{D} = \frac{\det\begin{pmatrix}e&b\\f&d\end{pmatrix}}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{\det\begin{pmatrix}a&e\\c&f\end{pmatrix}}{D}$$

3.5 Exemples résolus

Exemple 1 — Déterminant $2\times 2$

Calculer $\det\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}$.

Solution : $$\det\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix} = (4)(1) - (3)(2) = 4 - 6 = -2$$

Exemple 2 — Déterminant $3\times 3$

Calculer $\det\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$.

Solution : $$= 1\det\begin{pmatrix}5&6\\8&9\end{pmatrix} - 2\det\begin{pmatrix}4&6\\7&9\end{pmatrix} + 3\det\begin{pmatrix}4&5\\7&8\end{pmatrix}$$ $$= 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32-35)$$ $$= (-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0$$

Le déterminant est $0$, la matrice est singulière (non inversible).

Exemple 3 — Déterminant d'un produit

Si $\det(A) = 3$ et $\det(B) = -2$, calculer $\det(AB)$ et $\det(A^2)$.

Solution :

$\det(AB) = \det(A)\det(B) = (3)(-2) = -6$

$\det(A^2) = \det(A)^2 = 3^2 = 9$

Exemple 4 — Règle de Cramer

Résoudre par la règle de Cramer : $\begin{cases}3x + y = 7\\x - 2y = -1\end{cases}$

Solution :

$D = \det\begin{pmatrix}3&1\\1&-2\end{pmatrix} = (3)(-2)-(1)(1) = -6-1 = -7$

$D_x = \det\begin{pmatrix}7&1\\-1&-2\end{pmatrix} = (7)(-2)-(1)(-1) = -14+1 = -13$

$D_y = \det\begin{pmatrix}3&7\\1&-1\end{pmatrix} = (3)(-1)-(7)(1) = -3-7 = -10$

$x = \dfrac{-13}{-7} = \dfrac{13}{7}$,   $y = \dfrac{-10}{-7} = \dfrac{10}{7}$

Exercices — Déterminants

  1. Calculer $\det\begin{pmatrix}5&-2\\3&4\end{pmatrix}$.
  2. Calculer $\det\begin{pmatrix}2&0&1\\-1&3&2\\4&-2&1\end{pmatrix}$.
  3. Sans calculer, expliquer pourquoi $\det\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\4&5&6\end{pmatrix} = 0$.
  4. Si $\det(A) = -4$, trouver $\det(3A)$ pour une matrice $3\times 3$.
  5. Résoudre par la règle de Cramer : $\begin{cases}2x - y = 5\\ x + 3y = 1\end{cases}$
  6. Trouver toutes les valeurs de $k$ pour lesquelles $\det\begin{pmatrix}k&2\\3&k\end{pmatrix} = 0$.
Voir les solutions
1. $(5)(4)-(-2)(3) = 20+6 = 26$.
2. Développement selon la première ligne : $2\det\begin{pmatrix}3&2\\-2&1\end{pmatrix} - 0 + 1\det\begin{pmatrix}-1&3\\4&-2\end{pmatrix}$ $= 2(3+4) + (2-12) = 14 - 10 = 4$.
3. La deuxième ligne est entièrement nulle, donc le déterminant est 0.
4. $\det(3A) = 3^3 \det(A) = 27(-4) = -108$.
5. $D = (2)(3)-(-1)(1) = 7$. $D_x = (5)(3)-(-1)(1) = 16$. $D_y = (2)(1)-(5)(1) = -3$. $x = 16/7$, $y = -3/7$.
6. $k^2 - 6 = 0 \Rightarrow k = \pm\sqrt{6}$.

4. Systèmes d'équations linéaires — Élimination de Gauss Cégep

4.1 Matrice augmentée et opérations élémentaires sur les lignes

Matrice augmentée

Un système $Ax = \vec{b}$ se représente par la matrice augmentée $[A|\vec{b}]$. Par exemple, $\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=1\end{cases}$ donne $\left[\begin{array}{cc|c}2&1&5\\1&-3&1\end{array}\right]$.

Les opérations élémentaires sur les lignes ne changent pas l'ensemble des solutions :

Forme échelonnée (REF) et forme échelonnée réduite (RREF)

Une matrice est en forme échelonnée (REF) si : chaque pivot est à droite de celui de la ligne supérieure, et tous les éléments sous un pivot sont nuls.

Elle est en RREF si, de plus, chaque pivot est 1 et est le seul élément non nul dans sa colonne.

Types de solutions

4.2 Exemples résolus

Exemple 1 — Système $2\times 2$ : solution unique

Résoudre $\begin{cases}2x + y = 5\\ x - 3y = 1\end{cases}$

Solution :
Étape 1Écrire la matrice augmentée : $\left[\begin{array}{cc|c}2&1&5\\1&-3&1\end{array}\right]$
Étape 2$R_1 \leftrightarrow R_2$ : $\left[\begin{array}{cc|c}1&-3&1\\2&1&5\end{array}\right]$
Étape 3$R_2 - 2R_1 \to R_2$ : $\left[\begin{array}{cc|c}1&-3&1\\0&7&3\end{array}\right]$
Étape 4$\frac{1}{7}R_2 \to R_2$ : $\left[\begin{array}{cc|c}1&-3&1\\0&1&3/7\end{array}\right]$
Étape 5$R_1 + 3R_2 \to R_1$ : $\left[\begin{array}{cc|c}1&0&16/7\\0&1&3/7\end{array}\right]$

Solution : $x = \dfrac{16}{7}$, $y = \dfrac{3}{7}$.

Exemple 2 — Système $3\times 3$ : solution unique

Résoudre $\begin{cases}x + y + z = 6\\ 2x - y + z = 3\\ x + 2y - z = 2\end{cases}$

Solution :
Étape 1Matrice augmentée : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right]$
Étape 2$R_2 - 2R_1 \to R_2$ et $R_3 - R_1 \to R_3$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right]$
Étape 3$R_2 \leftrightarrow R_3$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&-3&-1&-9\end{array}\right]$
Étape 4$R_3 + 3R_2 \to R_3$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-21\end{array}\right]$
Étape 5$-\frac{1}{7}R_3 \to R_3$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&1&3\end{array}\right]$
Étape 6$R_2 + 2R_3 \to R_2$ puis $R_1 - R_3 \to R_1$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&3\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right]$
Étape 7$R_1 - R_2 \to R_1$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right]$

Solution : $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$.

Exemple 3 — Infinité de solutions (variable libre)

Résoudre $\begin{cases}x + 2y - z = 3\\ 2x + 4y - 2z = 6\\ x - y + z = 1\end{cases}$

Solution :
Étape 1Matrice augmentée : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\2&4&-2&6\\1&-1&1&1\end{array}\right]$
Étape 2$R_2 - 2R_1 \to R_2$, $R_3 - R_1 \to R_3$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\0&0&0&0\\0&-3&2&-2\end{array}\right]$
Étape 3$R_2 \leftrightarrow R_3$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\0&-3&2&-2\\0&0&0&0\end{array}\right]$
Étape 4$-\frac{1}{3}R_2 \to R_2$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\0&1&-2/3&2/3\\0&0&0&0\end{array}\right]$
Étape 5$R_1 - 2R_2 \to R_1$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1/3&5/3\\0&1&-2/3&2/3\\0&0&0&0\end{array}\right]$

$z$ est la variable libre : posons $z = t$, $t \in \mathbb{R}$.

Solution : $x = \dfrac{5}{3} - \dfrac{t}{3}$, $\; y = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2t}{3}$, $\; z = t$.

Exemple 4 — Aucune solution (contradiction)

Résoudre $\begin{cases}x + y = 3\\ 2x + 2y = 7\end{cases}$

Solution :
Étape 1Matrice augmentée : $\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\2&2&7\end{array}\right]$
Étape 2$R_2 - 2R_1 \to R_2$ : $\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\0&0&1\end{array}\right]$

La deuxième ligne signifie $0x + 0y = 1$, ce qui est impossible.

Conclusion : Le système n'a aucune solution.

Exercices — Élimination de Gauss

  1. Résoudre par Gauss : $\begin{cases}3x - y = 8\\ x + 2y = 3\end{cases}$
  2. Résoudre : $\begin{cases}x - y + 2z = 7\\ 2x + y - z = 1\\ x + 3y - 4z = -7\end{cases}$
  3. Déterminer si le système est compatible : $\begin{cases}x + 2y - z = 4\\ 2x + 4y - 2z = 9\end{cases}$
  4. Résoudre et exprimer en termes de paramètre libre : $\begin{cases}x + 2y + 3z = 0\\ 2x + 4y + 6z = 0\end{cases}$
  5. Résoudre : $\begin{cases}x + y - z = 0\\ 2x - y + z = 3\\ x + 2y + 2z = 5\end{cases}$
  6. Trouver toutes les valeurs de $k$ pour lesquelles le système suivant a une solution unique : $\begin{cases}x + ky = 1\\ 2x + y = 3\end{cases}$
Voir les solutions
1. $\left[\begin{array}{cc|c}3&-1&8\\1&2&3\end{array}\right] \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \left[\begin{array}{cc|c}1&2&3\\3&-1&8\end{array}\right] \xrightarrow{R_2-3R_1} \left[\begin{array}{cc|c}1&2&3\\0&-7&-1\end{array}\right] \xrightarrow{-\frac{1}{7}R_2} \left[\begin{array}{cc|c}1&2&3\\0&1&1/7\end{array}\right] \xrightarrow{R_1-2R_2} \left[\begin{array}{cc|c}1&0&19/7\\0&1&1/7\end{array}\right]$
$x = 19/7$, $y = 1/7$.
2. $\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&7\\2&1&-1&1\\1&3&-4&-7\end{array}\right] \xrightarrow{R_2-2R_1,\,R_3-R_1} \left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&7\\0&3&-5&-13\\0&4&-6&-14\end{array}\right]$
$\xrightarrow{\frac{1}{3}R_2} \left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&7\\0&1&-5/3&-13/3\\0&4&-6&-14\end{array}\right] \xrightarrow{R_3-4R_2} \left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&7\\0&1&-5/3&-13/3\\0&0&2/3&2/3\end{array}\right]$
$\xrightarrow{\frac{3}{2}R_3}$: $z=1$. Substitution : $y = -13/3 + 5/3 = -8/3$. $x = 7 + y - 2z = 7 - 8/3 - 2 = 7/3$.
$x = 7/3$, $y = -8/3$, $z = 1$.
3. $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&4\\2&4&-2&9\end{array}\right] \xrightarrow{R_2-2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&4\\0&0&0&1\end{array}\right]$. Ligne $[0\;0\;0|1]$ : aucune solution, système incompatible.
4. $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\2&4&6&0\end{array}\right] \xrightarrow{R_2-2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$. $y = s$, $z = t$ libres. $x = -2s - 3t$. Solution : $(x,y,z) = s(-2,1,0) + t(-3,0,1)$.
5. $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\2&-1&1&3\\1&2&2&5\end{array}\right] \xrightarrow{R_2-2R_1,\,R_3-R_1} \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&-3&3&3\\0&1&3&5\end{array}\right] \xrightarrow{R_2\leftrightarrow R_3} \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&1&3&5\\0&-3&3&3\end{array}\right]$ $\xrightarrow{R_3+3R_2} \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&1&3&5\\0&0&12&18\end{array}\right]$. $z = 18/12 = 3/2$. $y = 5-3(3/2) = 1/2$. $x = -y+z = -1/2+3/2 = 1$.
$x=1$, $y=1/2$, $z=3/2$.
6. $D = 1 - 2k$. Solution unique $\Leftrightarrow$ $D \neq 0$ $\Leftrightarrow$ $k \neq \dfrac{1}{2}$.

5. Matrice inverse Cégep

5.1 Définition et conditions

Définition — Matrice inverse

Une matrice carrée $A$ est inversible (non singulière) si il existe une matrice $A^{-1}$ telle que : $$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$ $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Si $\det(A) = 0$, $A$ est dite singulière et n'a pas d'inverse.

5.2 Formule pour l'inverse d'une matrice $2\times 2$

Inverse $2\times 2$

$$A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$

valide uniquement si $\det(A) = ad - bc \neq 0$.

5.3 Méthode de Gauss-Jordan pour l'inverse $n\times n$

Méthode de Gauss-Jordan

  1. Former la matrice augmentée $[A | I]$
  2. Appliquer les opérations élémentaires sur les lignes pour réduire $A$ en $I$
  3. La partie droite devient automatiquement $A^{-1}$ : $[I | A^{-1}]$

Si $A$ ne peut pas être réduite à $I$, elle est singulière (pas d'inverse).

5.4 Application : résoudre $Ax = b$ avec $A^{-1}$

Si $A$ est inversible, la solution unique de $Ax = \vec{b}$ est $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.

5.5 Exemples résolus

Exemple 1 — Inverse d'une matrice $2\times 2$ par formule

Trouver l'inverse de $A = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$.

Solution :

$\det(A) = (3)(2)-(1)(5) = 6-5 = 1 \neq 0$ — inversible.

$$A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}$$

Vérification : $AA^{-1} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ✓

Exemple 2 — Inverse d'une matrice $3\times 3$ par Gauss-Jordan

Trouver $A^{-1}$ pour $A = \begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}$.

Solution :
Étape 1Former $[A|I]$ : $\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\2&1&0&0&1&0\\-1&1&2&0&0&1\end{array}\right]$
Étape 2$R_2 - 2R_1$, $R_3 + R_1$ : $\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&1&-2&-2&1&0\\0&1&3&1&0&1\end{array}\right]$
Étape 3$R_3 - R_2$ : $\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&1&-2&-2&1&0\\0&0&5&3&-1&1\end{array}\right]$
Étape 4$\frac{1}{5}R_3$ : $\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&1&-2&-2&1&0\\0&0&1&3/5&-1/5&1/5\end{array}\right]$
Étape 5$R_2 + 2R_3$, $R_1 - R_3$ : $\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&2/5&1/5&-1/5\\0&1&0&-4/5&3/5&2/5\\0&0&1&3/5&-1/5&1/5\end{array}\right]$
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2&1&-1\\-4&3&2\\3&-1&1\end{pmatrix}$$

Exemple 3 — Résoudre $Ax = b$ par l'inverse

Résoudre $\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}$ en utilisant $A^{-1}$.

Solution :

De l'exemple 1, $A^{-1} = \begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}$.

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A^{-1}\vec{b} = \begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8-7\\-20+21\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$

Solution : $x = 1$, $y = 1$.

Exercices — Matrice inverse

  1. Trouver l'inverse de $A = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ par la formule.
  2. Vérifier que $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&6\end{pmatrix}$ est singulière.
  3. Trouver $A^{-1}$ par Gauss-Jordan pour $A = \begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$.
  4. Résoudre $Ax = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ pour $A = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ en utilisant l'inverse de l'exercice 1.
Voir les solutions
1. $\det(A) = 4-3 = 1$. $A^{-1} = \begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}$.
2. $\det(A) = (1)(6)-(2)(3) = 6-6 = 0$. Singulière, pas d'inverse.
3. Appliquer Gauss-Jordan sur $[A|I_3]$. $\det(A) = 2(4-1)-1(2-0)+0 = 6-2 = 4 \neq 0$. Résultat : $A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&3\end{pmatrix}$.
4. $\vec{x} = A^{-1}\vec{b} = \begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$. $x = 2$, $y = -1$.

6. Transformations linéaires Cégep

6.1 Définition

Définition — Transformation linéaire

Une fonction $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ est une transformation linéaire si :

  1. $T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})$  (additivité)
  2. $T(k\vec{u}) = kT(\vec{u})$  pour tout scalaire $k$  (homogénéité)

Toute transformation linéaire $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ peut s'écrire $T(\vec{x}) = A\vec{x}$ pour une unique matrice $A$ de taille $m\times n$ appelée matrice standard de $T$.

6.2 Transformations standard dans $\mathbb{R}^2$

TransformationMatrice standardEffet
Mise à l'échelle (facteur $k$) $\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$ Dilate/comprime uniformément
Rotation d'angle $\theta$ $\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$ Tourne dans le sens antihoraire
Réflexion par rapport à l'axe $x$ $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ Inverse le signe de $y$
Réflexion par rapport à l'axe $y$ $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$ Inverse le signe de $x$
Cisaillement horizontal (facteur $k$) $\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$ Déplace $x$ proportionnellement à $y$
Projection sur l'axe $x$ $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ Annule la composante $y$

6.3 Noyau et image

Définitions — Noyau et Image

Soit $T(\vec{x}) = A\vec{x}$.

$T$ est injective $\Leftrightarrow$ $\ker(T) = \{\vec{0}\}$ $\Leftrightarrow$ $A$ a des colonnes linéairement indépendantes.

6.4 Exemples résolus

Exemple 1 — Identifier une transformation

Quelle transformation géométrique réalise $T(\vec{x}) = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\vec{x}$ ?

Solution :

Comparons avec la matrice de rotation : $\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$.

$\cos\theta = 0$, $\sin\theta = 1$ $\Rightarrow$ $\theta = 90°$.

$T$ est une rotation de $90°$ dans le sens antihoraire.

Vérification : $T\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ ✓ (l'axe $x$ va vers l'axe $y$)

Exemple 2 — Appliquer une transformation

Appliquer la réflexion par rapport à l'axe $x$ aux points $(2, 3)$, $(-1, 4)$ et $(0, -2)$.

Solution :

Matrice : $A = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$.

$A\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$

$A\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-4\end{pmatrix}$

$A\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}$

Exemple 3 — Trouver le noyau

Trouver $\ker(T)$ pour $T(\vec{x}) = A\vec{x}$ avec $A = \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$.

Solution :

Résoudre $A\vec{x} = \vec{0}$ :

$\left[\begin{array}{cc|c}1&2&0\\2&4&0\end{array}\right] \xrightarrow{R_2-2R_1} \left[\begin{array}{cc|c}1&2&0\\0&0&0\end{array}\right]$

$x_2 = t$ (libre), $x_1 = -2t$.

$$\ker(T) = \left\{t\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix} \,\middle|\, t \in \mathbb{R}\right\}$$

Le noyau est une droite passant par l'origine. $T$ n'est pas injective (noyau non trivial).

Exercices — Transformations linéaires

  1. Identifier la transformation réalisée par $T(\vec{x}) = \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\vec{x}$.
  2. Écrire la matrice standard de la rotation de $180°$. Appliquer cette transformation au point $(3,-2)$.
  3. Vérifier que $T(x_1, x_2) = (x_1 + 1, x_2)$ n'est pas une transformation linéaire.
  4. Trouver le noyau de $T(\vec{x}) = \begin{pmatrix}1&-2&1\\2&-4&2\end{pmatrix}\vec{x}$.
Voir les solutions
1. $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$ est la matrice de la réflexion par rapport à l'axe $y$ (le signe de $x_1$ s'inverse, $x_2$ reste inchangé).
2. Rotation de $180°$ : $\theta = 180°$, $\cos 180° = -1$, $\sin 180° = 0$. Matrice : $\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$. $T(3,-2) = \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$.
3. Tester la condition $T(\vec{0}) = \vec{0}$ : $T(0,0) = (0+1, 0) = (1, 0) \neq (0,0)$. La condition nécessaire est violée — pas une transformation linéaire.
4. $\left[\begin{array}{ccc|c}1&-2&1&0\\2&-4&2&0\end{array}\right] \xrightarrow{R_2-2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c}1&-2&1&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$. $x_2 = s$, $x_3 = t$ libres. $x_1 = 2s - t$. $\ker(T) = \left\{s\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} \,\middle|\, s,t \in \mathbb{R}\right\}$.

7. Tableau récapitulatif des propriétés Cégep

Opération Propriété Remarque
Addition $A + B$Commutative, associativeMême taille requise
Multiplication $AB$Associative, distributiveEn général $AB \neq BA$
Transposée $(AB)^T$$(AB)^T = B^T A^T$L'ordre s'inverse
Déterminant $\det(AB)$$\det(A)\det(B)$Multiplicatif
Déterminant $\det(A^T)$$= \det(A)$Transposition conserve le déterminant
Inverse $(AB)^{-1}$$= B^{-1}A^{-1}$L'ordre s'inverse
Inverse $(A^T)^{-1}$$= (A^{-1})^T$Commutation permise ici
Inversibilité$\det(A) \neq 0$Équivalent : colonnes L.I., RREF = $I$
Noyau de $T$$\ker(T) = \{\vec{0}\}$ si injectiveNoyau trivial $\Leftrightarrow$ injective
Produit scalaire$\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ si perpendiculairesCommutatif
Produit vectoriel$\vec{u}\times\vec{v} = -\vec{v}\times\vec{u}$Anti-commutatif

Conseils pour l'examen

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