Fonctions avancées

Secondaire 5 — Programme du Québec (PFEQ) — Mise à jour : mars 2026

📋 Table des matières

  1. Rappel — Transformations de fonctions
  2. Fonction valeur absolue
  3. Fonction exponentielle
  4. Fonction logarithmique
  5. Équations exponentielles et logarithmiques
  6. Suites — Aperçu
  7. Tableau récapitulatif

1. Rappel — Transformations de fonctions Sec 5

Toute fonction de base $f(x)$ peut être transformée pour obtenir une nouvelle fonction $g(x)$. Comprendre ces transformations permet d'analyser rapidement n'importe quelle famille de fonctions.

📖 Forme générale d'une fonction transformée

À partir d'une fonction de base $f(x)$, la fonction transformée s'écrit :

$$g(x) = a \cdot f\!\bigl(b(x - h)\bigr) + k$$

⚠️ Ordre d'application des transformations

Pour tracer $g(x) = af(b(x-h))+k$ à partir de $f(x)$, on applique dans l'ordre :

1. Étirements/compressions horizontales (facteur $b$) et réflexion sur l'axe des $y$ si $b<0$.
2. Translation horizontale de $h$ unités.
3. Étirements/compressions verticales (facteur $a$) et réflexion sur l'axe des $x$ si $a<0$.
4. Translation verticale de $k$ unités.

FONC·1Figure 1 — Parabole de base $y = x^2$ (bleu) et transformée $y = a(x-h)^2 + k$ (rouge). Ajustez a, h, k avec les curseurs.

Exemples guidés

✏️ Exemple 1 — Identifier les transformations

Soit $g(x) = -3\sqrt{2(x+4)} - 1$. Identifier chaque transformation par rapport à $f(x) = \sqrt{x}$.

Solution :
On récrit : $g(x) = -3 f(2(x - (-4))) + (-1)$
  • $b = 2$ : compression horizontale de facteur $\frac{1}{2}$.
  • $h = -4$ : translation de 4 unités vers la gauche.
  • $a = -3$ : étirement vertical de facteur 3 et réflexion sur l'axe des $x$.
  • $k = -1$ : translation d'une unité vers le bas.

✏️ Exemple 2 — Écrire l'équation d'une transformée

La fonction $f(x) = x^2$ est translatée 3 unités à droite, réfléchie sur l'axe des $x$ et déplacée 5 unités vers le haut. Écrire l'équation de $g$.

Solution :
Translation droite ($h = 3$) : $f(x-3)$
Réflexion sur $x$ ($a = -1$) : $-f(x-3)$
Translation vers le haut ($k = 5$) : $g(x) = -(x-3)^2 + 5$

✏️ Exemple 3 — Déterminer domaine et image après transformation

Soit $f(x) = \sqrt{x}$ (domaine $[0, +\infty)$, image $[0, +\infty)$). Déterminer le domaine et l'image de $g(x) = \sqrt{-(x-2)} + 3$.

Solution :
$g(x) = f(-(x-2)) + 3$ avec $a = 1$, $b = -1$, $h = 2$, $k = 3$.
La réflexion $b < 0$ inverse le domaine : $-(x-2) \geq 0 \Rightarrow x \leq 2$.
Domaine : $(-\infty, 2]$
L'étirement vertical est 1 et la translation $k=3$ déplace l'image vers le haut.
Image : $[3, +\infty)$

📝 Exercices — Transformations

  1. Identifier toutes les transformations de $g(x) = \frac{1}{2}f(-(x-3)) + 2$ par rapport à $f(x)$.
  2. Écrire l'équation de la transformée de $f(x)=|x|$ : compression horizontale de facteur $\frac{1}{3}$, réflexion sur l'axe des $y$, translation 2 unités vers le bas.
  3. La parabole $f(x)=x^2$ est étirée verticalement d'un facteur 4, translatée 1 unité à gauche et 6 unités vers le bas. Quelle est l'équation de $g$ ? Quel est son sommet ?
  4. Soit $h(x) = -2(3x + 6)^2 + 8$. Réécrire sous la forme $a f(b(x-h))+k$ et identifier $a$, $b$, $h$, $k$.
  5. Décrire comment obtenir $g(x) = \sqrt{-2x + 4}$ à partir de $f(x) = \sqrt{x}$. Quel est le domaine de $g$ ?
Voir les solutions — Transformations
1. $a = \frac{1}{2}$ (compression vert. facteur $\frac{1}{2}$) ; $b = -1$ (réflexion sur $y$) ; $h = 3$ (translation 3 droite) ; $k = 2$ (translation 2 haut).
2. Compression horiz. facteur $\frac{1}{3}$ : $f(3x)$ ; réflexion sur $y$ : $f(-3x) = |-3x| = 3|x|$ (équivalent, mais garder $b=-3$) ; $k=-2$ : $g(x) = |-3x| - 2 = 3|x| - 2$.
3. $g(x) = 4(x+1)^2 - 6$. Sommet : $(-1, -6)$.
4. $h(x) = -2(3(x+2))^2 + 8$, donc $a=-2$, $b=3$, $h=-2$, $k=8$.
5. $g(x) = \sqrt{-2(x-2)}$ : compression horiz. facteur $\frac{1}{2}$ ($b=2$), réflexion sur $y$ ($b$ négatif), translation 2 droite ($h=2$). Domaine : $-2x+4 \geq 0 \Rightarrow x \leq 2$, soit $(-\infty, 2]$.

2. Fonction valeur absolue Sec 5

📖 Définition

La valeur absolue d'un réel $x$ est :

$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

Géométriquement, $|x|$ représente la distance entre $x$ et 0 sur la droite numérique.

📈 Graphique de $y = |x|$

Forme en V, sommet à l'origine $(0, 0)$.

Domaine : $\mathbb{R}$  |  Image : $[0, +\infty)$

📉 Graphique de $y = |f(x)|$

Les parties de $f(x)$ qui sont négatives sont réfléchies au-dessus de l'axe des $x$.

FONC·2Figure 2 — Ajustez a, h, k pour explorer $g(x) = a|x - h| + k$. La courbe pointillée grise montre $y = |x|$.

✨ Résolution d'équations et d'inéquations

Équation : $|ax + b| = c$ (avec $c \geq 0$)

$$ax + b = c \quad \text{ou} \quad ax + b = -c$$

Inéquation (type $<$) :

$$|x| < c \iff -c < x < c$$

Inéquation (type $>$) :

$$|x| > c \iff x < -c \text{ ou } x > c$$

✏️ Exemple 1 — Tracer $g(x) = |x - 2| + 1$

Identifier le sommet, le domaine et l'image, puis esquisser le graphique.

Solution :
La forme est $|x - h| + k$ avec $h = 2$, $k = 1$.
Sommet : $(2, 1)$ — le minimum de la fonction.
Domaine : $\mathbb{R}$  |  Image : $[1, +\infty)$
Branches : pour $x \geq 2$, pente $+1$ ; pour $x < 2$, pente $-1$.

✏️ Exemple 2 — Résoudre $|2x - 5| = 7$

Solution :
Cas 1 : $2x - 5 = 7 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$
Cas 2 : $2x - 5 = -7 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$
Vérification : $|2(6)-5| = |7| = 7$ ✓ ; $|2(-1)-5| = |-7| = 7$ ✓
Solutions : $x = 6$ ou $x = -1$.

✏️ Exemple 3 — Résoudre $|3x + 1| \leq 8$

Solution :
$-8 \leq 3x + 1 \leq 8$
$-9 \leq 3x \leq 7$
$-3 \leq x \leq \dfrac{7}{3}$
Solution : $\left[-3,\ \dfrac{7}{3}\right]$

✏️ Exemple 4 — Résoudre $|x - 4| > 3$

Solution :
$x - 4 > 3$ ou $x - 4 < -3$
$x > 7$ ou $x < 1$
Solution : $(-\infty, 1) \cup (7, +\infty)$

📝 Exercices — Valeur absolue

  1. Tracer $g(x) = -|x + 3| + 4$. Identifier le sommet, le domaine et l'image.
  2. Résoudre $|5x - 2| = 13$.
  3. Résoudre $|4 - 3x| = |x + 2|$.
  4. Résoudre $|2x + 1| < 5$.
  5. Résoudre $\left|\dfrac{x-1}{2}\right| \geq 3$.
  6. Trouver les valeurs de $x$ telles que $|x^2 - 4| = 5$.
Voir les solutions — Valeur absolue
1. $g(x) = -|x-(-3)| + 4$ : sommet $(-3, 4)$ (maximum car $a=-1<0$) ; domaine $\mathbb{R}$ ; image $(-\infty, 4]$.
2. $5x - 2 = 13 \Rightarrow x = 3$ ou $5x - 2 = -13 \Rightarrow x = -\frac{11}{5}$.
3. Cas 1 : $4-3x = x+2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Cas 2 : $4-3x = -(x+2) \Rightarrow 4-3x=-x-2 \Rightarrow -2x=-6 \Rightarrow x=3$. Solutions : $x = \frac{1}{2}$ ou $x = 3$.
4. $-5 < 2x+1 < 5 \Rightarrow -6 < 2x < 4 \Rightarrow -3 < x < 2$. Solution : $(-3, 2)$.
5. $\frac{x-1}{2} \geq 3 \Rightarrow x \geq 7$ ou $\frac{x-1}{2} \leq -3 \Rightarrow x \leq -5$. Solution : $(-\infty, -5] \cup [7, +\infty)$.
6. $x^2 - 4 = 5 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ ; ou $x^2 - 4 = -5 \Rightarrow x^2 = -1$ (impossible). Solutions : $x = 3$ ou $x = -3$.

3. Fonction exponentielle Sec 5

📖 Définition

Une fonction exponentielle est de la forme :

$$f(x) = a \cdot c^x$$

où $c > 0$, $c \neq 1$ (la base), et $a \neq 0$ (le facteur d'échelle, valeur initiale $f(0) = a$).

📈 Croissance : $c > 1$

La fonction est croissante : augmente sans borne quand $x \to +\infty$, s'approche de 0 quand $x \to -\infty$.

Exemple : $f(x) = 2^x$

📉 Décroissance : $0 < c < 1$

La fonction est décroissante : diminue vers 0 quand $x \to +\infty$, augmente sans borne quand $x \to -\infty$.

Exemple : $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$

FONC·3Figure 3 — Ajustez a et b pour explorer $f(x) = a \cdot b^x$. Observez la croissance ($b > 1$) et la décroissance ($0 < b < 1$).

💰 Applications importantes

Intérêts composés :

$$A = P\!\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

où $P$ = capital initial, $r$ = taux annuel, $n$ = nombre de périodes par an, $t$ = durée en années.

Croissance/décroissance continue :

$$P(t) = P_0 \cdot e^{rt}$$

où $e \approx 2{,}718$ (base naturelle), $r > 0$ pour la croissance, $r < 0$ pour la décroissance.

✏️ Exemple 1 — Compléter une table de valeurs

Pour $f(x) = 3 \cdot 2^x$, calculer $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$.

Solution :
$f(-2) = 3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$f(0) = 3 \cdot 2^0 = 3$
$f(1) = 3 \cdot 2^1 = 6$
$f(3) = 3 \cdot 2^3 = 24$

✏️ Exemple 2 — Doublement d'une population de bactéries

Une culture bactérienne commence avec 500 bactéries et double toutes les 3 heures. Combien y aura-t-il de bactéries après 12 heures ?

Solution :
Le modèle est $P(t) = 500 \cdot 2^{t/3}$ où $t$ est en heures.
$P(12) = 500 \cdot 2^{12/3} = 500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = \mathbf{8\,000}$ bactéries.

✏️ Exemple 3 — Demi-vie radioactive

Un isotope radioactif a une demi-vie de 10 ans. Si on en a 80 g au départ, combien en restera-t-il après 25 ans ?

Solution :
$Q(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$
$Q(25) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2{,}5} = 80 \cdot \frac{1}{2^{2{,}5}} = \frac{80}{4\sqrt{2}} = \frac{80}{5{,}657} \approx \mathbf{14{,}14}$ g.

✏️ Exemple 4 — Intérêts composés

On investit 2 000 $ à un taux annuel de 4 %, composé mensuellement. Quelle est la valeur après 5 ans ?

Solution :
$P = 2000$, $r = 0{,}04$, $n = 12$, $t = 5$.
$A = 2000\left(1 + \frac{0{,}04}{12}\right)^{60} = 2000 \cdot (1{,}003\overline{3})^{60} \approx 2000 \times 1{,}2210 \approx \mathbf{2\,442{,}00}\ \$$.

📝 Exercices — Fonction exponentielle

  1. Pour $f(x) = 5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x$, calculer $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$. Quelle est l'asymptote horizontale ?
  2. Identifier le domaine, l'image et l'asymptote de $g(x) = -2 \cdot 4^x + 3$.
  3. Une population de 1 200 personnes décroît de 6 % par an. Combien de personnes resteront-il après 10 ans ?
  4. Un capital de 5 000 $ est placé à 3,5 % par année, composé semestriellement. Quelle est sa valeur après 8 ans ?
  5. La quantité d'un médicament dans le sang décroît selon $Q(t) = 200 \cdot e^{-0{,}2t}$ (mg). Après combien de temps reste-t-il moins de 50 mg ? (Utiliser $\ln$).
  6. Montrer que la fonction $f(x) = 4 \cdot 8^x$ peut s'écrire sous la forme $a \cdot 2^{bx}$ et identifier $a$ et $b$.
Voir les solutions — Fonction exponentielle
1. $f(-1) = 5 \cdot 3 = 15$ ; $f(0) = 5$ ; $f(2) = 5/9$. Asymptote : $y = 0$.
2. Domaine : $\mathbb{R}$ ; image : $(-\infty, 3)$ (car $-2 \cdot 4^x$ est toujours négatif, max en $-\infty$) ; asymptote $y = 3$.
3. $P(10) = 1200 \cdot (0{,}94)^{10} \approx 1200 \times 0{,}5386 \approx 646$ personnes.
4. $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}035}{2}\right)^{16} = 5000 \cdot (1{,}0175)^{16} \approx 5000 \times 1{,}3199 \approx 6\,599{,}60\ \$$.
5. $200 e^{-0{,}2t} < 50 \Rightarrow e^{-0{,}2t} < 0{,}25 \Rightarrow -0{,}2t < \ln(0{,}25) \Rightarrow t > \frac{\ln 4}{0{,}2} \approx \frac{1{,}386}{0{,}2} \approx 6{,}93$ min.
6. $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$, donc $f(x) = 4 \cdot 2^{3x}$. $a = 4$, $b = 3$.

4. Fonction logarithmique Sec 5

📖 Définition

Le logarithme en base $b$ de $x$ est l'exposant à donner à $b$ pour obtenir $x$ :

$$y = \log_b x \iff b^y = x \qquad (b > 0,\ b \neq 1,\ x > 0)$$

Cas particuliers :

Domaine : $(0, +\infty)$  |  Image : $\mathbb{R}$  |  Asymptote verticale : $x = 0$

✨ Propriétés des logarithmes

PropriétéFormuleExemple
Produit$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$$\log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3+2$
Quotient$\log_b\!\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$$\log\!\left(\frac{100}{10}\right) = 2 - 1 = 1$
Puissance$\log_b(M^r) = r\log_b M$$\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 9$
Changement de base$\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b} = \dfrac{\ln a}{\ln b}$$\log_3 7 = \dfrac{\ln 7}{\ln 3}$
Identités$\log_b b = 1$  |  $\log_b 1 = 0$$\log 10 = 1$ ; $\ln 1 = 0$

FONC·4Figure 4 — $y = 2^x$ (bleu) et $y = \log_2 x$ (rouge pointillé) sont des fonctions inverses, symétriques par rapport à $y = x$. Ajustez la base $b$ avec le curseur.

✏️ Exemple 1 — Évaluer des expressions logarithmiques

Calculer : (a) $\log_2 32$   (b) $\log_3 \frac{1}{9}$   (c) $\log 0{,}001$   (d) $\ln e^5$

Solution :
(a) $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$
(b) $\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$
(c) $\log 0{,}001 = \log 10^{-3} = -3$
(d) $\ln e^5 = 5$

✏️ Exemple 2 — Développer avec les propriétés

Développer $\log\!\left(\dfrac{x^3 \sqrt{y}}{z^2}\right)$ en termes de $\log x$, $\log y$, $\log z$.

Solution :
$\log\!\left(\dfrac{x^3 \sqrt{y}}{z^2}\right) = \log(x^3) + \log(y^{1/2}) - \log(z^2)$
$= 3\log x + \tfrac{1}{2}\log y - 2\log z$

✏️ Exemple 3 — Résoudre $2^x = 17$

Solution : Prendre le logarithme des deux membres :
$\log(2^x) = \log 17$
$x \log 2 = \log 17$
$x = \dfrac{\log 17}{\log 2} \approx \dfrac{1{,}2304}{0{,}3010} \approx \mathbf{4{,}09}$

✏️ Exemple 4 — Résoudre $\log(x^2 - 1) = 1$

Solution :
$\log(x^2 - 1) = 1 \Rightarrow x^2 - 1 = 10^1 = 10$
$x^2 = 11 \Rightarrow x = \pm\sqrt{11}$
Vérification du domaine : $x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x^2 > 1$ ✓ pour $x = \pm\sqrt{11}$.
Solutions : $x = \sqrt{11}$ ou $x = -\sqrt{11}$.

✏️ Exemple 5 — Changement de base

Calculer $\log_5 200$ à l'aide de la calculatrice.

Solution :
$\log_5 200 = \dfrac{\log 200}{\log 5} = \dfrac{\ln 200}{\ln 5} \approx \dfrac{2{,}3010}{0{,}6990} \approx \mathbf{3{,}292}$

📝 Exercices — Fonction logarithmique

  1. Évaluer : (a) $\log_4 64$   (b) $\log_5 \frac{1}{125}$   (c) $\ln e^{-2}$   (d) $\log_6 1$
  2. Développer : $\ln\!\left(\dfrac{x^2 y^3}{\sqrt{z}}\right)$
  3. Condenser en un seul logarithme : $2\log x - \frac{1}{3}\log y + \log z$
  4. Calculer $\log_7 150$ (à 3 décimales).
  5. Résoudre $\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = 5$.
  6. Résoudre $\ln(3x - 2) = 4$ (à 4 décimales).
Voir les solutions — Fonction logarithmique
1. (a) $\log_4 4^3 = 3$ ; (b) $\log_5 5^{-3} = -3$ ; (c) $-2$ ; (d) $0$.
2. $2\ln x + 3\ln y - \frac{1}{2}\ln z$.
3. $\log\!\left(\dfrac{x^2 z}{y^{1/3}}\right)$.
4. $\dfrac{\log 150}{\log 7} = \dfrac{2{,}1761}{0{,}8451} \approx 2{,}576$.
5. $\log_2[(x+3)(x-1)] = 5 \Rightarrow (x+3)(x-1) = 32 \Rightarrow x^2+2x-3=32 \Rightarrow x^2+2x-35=0 \Rightarrow (x+7)(x-5)=0$. $x=5$ (valide, $x=-7$ rejeté car $x-1=-8<0$).
6. $3x - 2 = e^4 \Rightarrow x = \dfrac{e^4 + 2}{3} \approx \dfrac{54{,}598 + 2}{3} \approx 18{,}866$.

5. Équations exponentielles et logarithmiques Sec 5

✨ Stratégies de résolution

Même base

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)$

Bases différentes

Prendre $\log$ des deux membres :
$f(x)\log a = g(x)\log b$

Équation logarithmique

Isoler le $\log$, puis convertir : $\log_b x = y \Rightarrow x = b^y$

Vérifier le domaine

Toujours vérifier que l'argument du $\log$ est strictement positif !

⚠️ Solutions étrangères (extraneous solutions)

Lors de la résolution d'équations logarithmiques, des manipulations algébriques peuvent introduire des solutions qui ne satisfont pas les conditions du domaine ($x > 0$ sous un $\log$). Toujours vérifier chaque solution dans l'équation originale.

✏️ Exemple 1 — Même base

Résoudre $4^{2x-1} = 4^{x+3}$.

Solution :
Même base ($4$) : $2x - 1 = x + 3 \Rightarrow x = 4$

✏️ Exemple 2 — Bases différentes

Résoudre $5^x = 3^{x+2}$.

Solution :
$\ln(5^x) = \ln(3^{x+2})$
$x\ln 5 = (x+2)\ln 3$
$x\ln 5 = x\ln 3 + 2\ln 3$
$x(\ln 5 - \ln 3) = 2\ln 3$
$x = \dfrac{2\ln 3}{\ln 5 - \ln 3} = \dfrac{2\ln 3}{\ln(5/3)} \approx \dfrac{2 \times 1{,}0986}{0{,}5108} \approx \mathbf{4{,}30}$

✏️ Exemple 3 — Équation logarithmique

Résoudre $\log_3(2x + 5) - \log_3(x - 1) = 2$.

Solution :
$\log_3\!\left(\dfrac{2x+5}{x-1}\right) = 2$
$\dfrac{2x+5}{x-1} = 3^2 = 9$
$2x + 5 = 9(x-1) = 9x - 9$
$14 = 7x \Rightarrow x = 2$
Vérification : $x - 1 = 1 > 0$ ✓ ; $2x + 5 = 9 > 0$ ✓. Solution : $x = 2$.

✏️ Exemple 4 — Équation combinée

Résoudre $2 \cdot 3^x - 3^x - 15 = 0$. (Indice : substitution $u = 3^x$)

Solution :
Poser $u = 3^x$ : $2u - u - 15 = 0$... En fait, reconsidérons: $2 \cdot 3^{2x} - 3^x - 15 = 0$ avec $u = 3^x$ :
$2u^2 - u - 15 = 0$
$(2u + 5)(u - 3) = 0$
$u = 3$ (valide, car $3^x > 0$) ou $u = -\frac{5}{2}$ (rejeté)
$3^x = 3 \Rightarrow x = 1$

📝 Exercices — Équations exponentielles et logarithmiques

  1. Résoudre $2^{3x-1} = 2^{x+5}$.
  2. Résoudre $7^x = 20$ (à 4 décimales).
  3. Résoudre $\log_4(x + 6) + \log_4(x - 3) = 2$.
  4. Résoudre $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$. (substitution $u = e^x$)
  5. Résoudre $\log(x) + \log(x - 3) = 1$.
  6. Résoudre $3^{x+1} = 5^{x-2}$ (à 3 décimales).
Voir les solutions — Équations exp. et log.
1. $3x - 1 = x + 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
2. $x = \dfrac{\log 20}{\log 7} = \dfrac{1{,}3010}{0{,}8451} \approx 1{,}5395$.
3. $(x+6)(x-3) = 4^2 = 16 \Rightarrow x^2+3x-18=16 \Rightarrow x^2+3x-34=0 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+136}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{145}}{2}$. $x \approx 4{,}52$ (valide) ou $x \approx -7{,}52$ (rejeté car $x - 3 < 0$).
4. $u = e^x$ : $u^2 - 5u + 6 = 0 \Rightarrow (u-2)(u-3)=0$. $e^x=2 \Rightarrow x=\ln 2$ ou $e^x=3 \Rightarrow x=\ln 3$.
5. $\log[x(x-3)] = 1 \Rightarrow x^2-3x=10 \Rightarrow x^2-3x-10=0 \Rightarrow (x-5)(x+2)=0$. $x=5$ (valide) ; $x=-2$ rejeté.
6. $(x+1)\ln 3 = (x-2)\ln 5 \Rightarrow x(\ln 3 - \ln 5) = -2\ln 5 - \ln 3 \Rightarrow x = \dfrac{-2\ln 5 - \ln 3}{\ln 3 - \ln 5} \approx \dfrac{-3{,}218 - 1{,}099}{1{,}099 - 1{,}609} \approx \dfrac{-4{,}317}{-0{,}510} \approx 8{,}465$.

6. Suites — Aperçu Sec 5

Une suite est une liste ordonnée de nombres appelés termes. En Secondaire 5, on étudie deux types fondamentaux : les suites arithmétiques et les suites géométriques.

➕ Suite arithmétique

Chaque terme est obtenu en ajoutant une constante $d$ (raison commune).

Terme général : $a_n = a_1 + (n-1)d$

Somme des $n$ premiers termes :

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$
✖️ Suite géométrique

Chaque terme est obtenu en multipliant par une constante $r$ (raison commune).

Terme général : $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Somme des $n$ premiers termes ($r \neq 1$) :

$$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$

✏️ Exemple 1 — Suite arithmétique

La suite $3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \ldots$ : trouver le 20e terme et la somme des 20 premiers termes.

Solution :
$a_1 = 3$, $d = 4$.
$a_{20} = 3 + (20-1) \times 4 = 3 + 76 = \mathbf{79}$
$S_{20} = \dfrac{20}{2}(3 + 79) = 10 \times 82 = \mathbf{820}$

✏️ Exemple 2 — Suite géométrique

La suite $5,\ 10,\ 20,\ 40,\ \ldots$ : trouver le 8e terme et la somme des 8 premiers termes.

Solution :
$a_1 = 5$, $r = 2$.
$a_8 = 5 \cdot 2^7 = 5 \times 128 = \mathbf{640}$
$S_8 = 5 \cdot \dfrac{2^8 - 1}{2 - 1} = 5 \times 255 = \mathbf{1\,275}$

✏️ Exemple 3 — Identifier et trouver la raison

La suite $96,\ 48,\ 24,\ 12,\ \ldots$ : de quel type est-elle ? Trouver $a_7$ et la somme infinie (si elle existe).

Solution :
$r = \dfrac{48}{96} = \dfrac{1}{2}$ — suite géométrique.
$a_7 = 96 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = 96 \cdot \dfrac{1}{64} = \dfrac{3}{2}$
Comme $|r| = \frac{1}{2} < 1$, la somme infinie converge :
$S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - r} = \dfrac{96}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{96}{\frac{1}{2}} = \mathbf{192}$

📝 Exercices — Suites

  1. La suite arithmétique : $a_1 = -5$, $d = 3$. Trouver $a_{15}$ et $S_{15}$.
  2. La suite géométrique : $a_1 = 2$, $r = -3$. Trouver $a_6$ et $S_6$.
  3. Insérer 3 termes arithmétiques entre 4 et 20 (trouver $d$ et les termes).
  4. Un logiciel se vend 800 $ la première année et son prix diminue de 15 % chaque année. Quel sera son prix à la 5e année ? Quel est le total des revenus sur 5 ans ?
Voir les solutions — Suites
1. $a_{15} = -5 + 14 \times 3 = 37$ ; $S_{15} = \frac{15}{2}(-5 + 37) = \frac{15 \times 32}{2} = 240$.
2. $a_6 = 2 \cdot (-3)^5 = 2 \times (-243) = -486$ ; $S_6 = 2 \cdot \frac{(-3)^6 - 1}{-3 - 1} = 2 \cdot \frac{729-1}{-4} = 2 \cdot \frac{728}{-4} = -364$.
3. 5 termes au total (4, ?, ?, ?, 20) : $20 = 4 + 4d \Rightarrow d = 4$. Termes : $4, 8, 12, 16, 20$.
4. $a_5 = 800 \cdot (0{,}85)^4 \approx 800 \times 0{,}5220 \approx 417{,}60\ \$$ ; $S_5 = 800 \cdot \frac{1 - (0{,}85)^5}{1 - 0{,}85} = 800 \cdot \frac{1 - 0{,}4437}{0{,}15} \approx 800 \times 3{,}709 \approx 2\,967\ \$$.

7. Tableau récapitulatif — Propriétés des fonctions clés Sec 5

Fonction Forme standard Domaine Image Asymptote Comportement
Valeur absolue $f(x) = a|b(x-h)|+k$ $\mathbb{R}$ $[k,+\infty)$ si $a>0$ Aucune Forme en V
Exponentielle (croiss.) $f(x) = a \cdot c^x$, $c>1$ $\mathbb{R}$ $(0,+\infty)$ $y = 0$ (horiz.) Croissante, passe par $(0,a)$
Exponentielle (décroi.) $f(x) = a \cdot c^x$, $0<c<1$ $\mathbb{R}$ $(0,+\infty)$ $y = 0$ (horiz.) Décroissante, passe par $(0,a)$
Logarithmique $f(x) = \log_b x$ $(0,+\infty)$ $\mathbb{R}$ $x = 0$ (vert.) Passe par $(1,0)$ et $(b,1)$
Suite arithmétique $a_n = a_1 + (n-1)d$ $n \in \mathbb{N}^*$ — — Linéaire (différences constantes)
Suite géométrique $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ $n \in \mathbb{N}^*$ — — Exponentielle (ratios constants)

💡 Conseils pour l'examen

© 2026 MathHub Global — Contenu éducatif gratuit pour le secondaire québécois.