← 목록으로 돌아가기
1. 오일러 공식이란?
오일러 공식(Euler's Formula)은 18세기 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 발견한
지수함수, 삼각함수, 그리고 복소수를 연결하는 놀라운 관계식입니다.
이 공식은 수학에서 가장 아름다운 공식 중 하나로 꼽히며,
복소해석학, 신호처리, 양자역학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 합니다.
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
여기서 $e$는 자연상수 (약 2.71828), $i$는 허수단위 ($i^2 = -1$), $\theta$는 실수 각도(라디안)입니다.
2. 오일러 공식의 증명
오일러 공식은 여러 방법으로 증명할 수 있습니다. 여기서는 테일러 급수를 이용한 증명을 소개합니다.
2.1 테일러 급수를 이용한 증명
지수함수, 코사인, 사인의 테일러 급수 전개:
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
$x$를 $i\theta$로 치환하면:
$$\begin{align}
e^{i\theta} &= 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \cdots \\
&= 1 + i\theta + \frac{i^2\theta^2}{2!} + \frac{i^3\theta^3}{3!} + \frac{i^4\theta^4}{4!} + \frac{i^5\theta^5}{5!} + \cdots \\
&= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \cdots
\end{align}$$
실부와 허부를 분리하면:
$$\begin{align}
e^{i\theta} &= \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right) \\
&= \cos\theta + i\sin\theta
\end{align}$$
3. 오일러 항등식
오일러 공식에 $\theta = \pi$를 대입하면 수학에서 가장 아름다운 등식이 나타납니다.
이 식은 수학의 5대 상수 ($0, 1, e, i, \pi$)를 하나의 식으로 연결합니다.
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
유도:
$$\begin{align}
e^{i\pi} &= \cos\pi + i\sin\pi \\
&= -1 + i \cdot 0 \\
&= -1
\end{align}$$
따라서 $e^{i\pi} = -1$ 즉, $e^{i\pi} + 1 = 0$
이 식은 리처드 파인만(Richard Feynman)이 "수학에서 가장 놀라운 공식"이라고 평가했으며,
순수 추상의 산물인 허수와 초월수들이 완벽한 조화를 이루는 것을 보여줍니다.
4. 복소수의 지수 표현
오일러 공식을 이용하면 복소수를 매우 간결하게 표현할 수 있습니다.
복소수의 지수 형식 (Exponential Form)
복소수 $z$를 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
$$z = r e^{i\theta}$$
여기서 $r = |z|$이고 $\theta = \arg(z)$
극형식과의 관계:
$$r(\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta}$$
예제 1
복소수 $z = 1 + i$를 지수 형식으로 나타내시오.
풀이:
1단계: 크기 계산
$$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$
2단계: 편각 계산
$$\theta = \arctan\frac{1}{1} = \frac{\pi}{4}$$
3단계: 지수 형식
$$z = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$$
5. 오일러 공식의 응용
5.1 복소수의 곱셈
지수 형식을 사용하면 복소수의 곱셈이 매우 간단해집니다:
$$\begin{align}
z_1 z_2 &= r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} \\
&= r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}
\end{align}$$
5.2 드무아브르 정리
오일러 공식을 이용하면 드무아브르 정리를 즉시 얻을 수 있습니다:
$$\begin{align}
(e^{i\theta})^n &= e^{in\theta} \\
(\cos\theta + i\sin\theta)^n &= \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)
\end{align}$$
5.3 삼각함수 항등식 유도
오일러 공식과 그 켤레를 이용하면 삼각함수를 지수함수로 표현할 수 있습니다:
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
$$e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$$
두 식을 더하거나 빼면:
삼각함수의 지수 표현
$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$
$$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$
예제 2: 덧셈 정리 유도
$\cos(\alpha + \beta)$를 유도해봅시다.
풀이:
$$\begin{align}
e^{i(\alpha + \beta)} &= e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} \\
\cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta) &= (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) \\
&= (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)
\end{align}$$
실부를 비교하면:
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$
6. 연습문제
문제 1
다음을 계산하시오:
- $e^{i\pi/2}$
- $e^{i\pi/6}$
- $e^{2\pi i}$
풀이 1
1) $e^{i\pi/2}$
$$e^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i = i$$
2) $e^{i\pi/6}$
$$e^{i\pi/6} = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$$
3) $e^{2\pi i}$
$$e^{2\pi i} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0 = 1$$
이것은 복소평면에서 한 바퀴 회전하면 원래 위치로 돌아옴을 보여줍니다.
문제 2
$i^i$의 값을 구하시오. (주값 사용)
풀이 2
먼저 $i$를 지수 형식으로 표현합니다:
$$i = e^{i\pi/2}$$
따라서:
$$i^i = (e^{i\pi/2})^i = e^{i^2 \pi/2} = e^{-\pi/2}$$
이것은 실수입니다!
$$i^i = e^{-\pi/2} \approx 0.2079$$
놀라운 사실: 허수의 허수제곱이 실수가 됩니다!
7. 기하학적 해석
$e^{i\theta}$는 복소평면에서 단위원 위의 점을 나타냅니다.
각도 $\theta$가 변화하면서 $e^{i\theta}$는 단위원 위를 반시계방향으로 회전합니다.
- $e^{i \cdot 0} = 1$ (시작점, 양의 실수축)
- $e^{i\pi/2} = i$ (위쪽, 양의 허수축)
- $e^{i\pi} = -1$ (왼쪽, 음의 실수축)
- $e^{i3\pi/2} = -i$ (아래쪽, 음의 허수축)
- $e^{i2\pi} = 1$ (한 바퀴 회전 후 원점 복귀)
즉, $e^{i\theta}$에 어떤 복소수를 곱하는 것은 그 복소수를 원점을 중심으로 $\theta$만큼 회전시키는 것과 같습니다.
8. 요약
- 오일러 공식: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
- 오일러 항등식: $e^{i\pi} + 1 = 0$
- 복소수의 지수 표현: $z = re^{i\theta}$
- 삼각함수의 지수 표현: $\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
- $e^{i\theta}$는 복소평면에서 각도 $\theta$의 회전을 나타냄
- 응용: 복소수 연산, 삼각함수 항등식, 신호처리, 양자역학