복소수의 극형식과 드무아브르 정리

1. 복소수의 극형식

복소수는 직교좌표계에서 $z = a + bi$ 형태로 표현할 수 있지만, 극좌표계를 이용하면 더욱 간결하고 강력한 표현이 가능합니다. 복소평면에서 복소수 $z$를 원점으로부터의 거리 $r$과 양의 실수축과 이루는 각 $\theta$로 나타낼 수 있습니다.

정의: 복소수의 극형식

복소수 $z = a + bi$에 대하여

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

여기서:

$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (크기 또는 절댓값)
$\theta = \arg(z)$ (편각, argument)
$\tan\theta = \frac{b}{a}$ (단, $a \neq 0$)

1.1 직교형식에서 극형식으로 변환

예제 1

복소수 $z = 1 + i$를 극형식으로 나타내시오.

풀이:

1단계: 크기 계산

$$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

2단계: 편각 계산

$$\tan\theta = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$$

3단계: 극형식 표현

$$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

2. 드무아브르 정리

드무아브르(De Moivre) 정리는 복소수의 거듭제곱을 계산할 때 극형식이 얼마나 강력한지 보여줍니다. 이 정리는 18세기 프랑스 수학자 아브라함 드무아브르의 이름을 따서 명명되었습니다.

정리: 드무아브르 정리

복소수 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$와 정수 $n$에 대하여

$$z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$

특히 $r = 1$일 때,

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$

2.1 드무아브르 정리의 증명 (귀납법)

기저 단계: $n = 1$일 때 자명하게 성립합니다.

귀납 단계: $n = k$일 때 성립한다고 가정하면,

$$z^k = r^k(\cos k\theta + i\sin k\theta)$$

$n = k+1$일 때,

$$\begin{align} z^{k+1} &= z^k \cdot z \\ &= r^k(\cos k\theta + i\sin k\theta) \cdot r(\cos\theta + i\sin\theta) \\ &= r^{k+1}[(\cos k\theta\cos\theta - \sin k\theta\sin\theta) + i(\sin k\theta\cos\theta + \cos k\theta\sin\theta)] \\ &= r^{k+1}[\cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta] \end{align}$$

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대해 성립합니다.

2.2 응용 예제

예제 2

$(1 + i)^{10}$을 계산하시오.

풀이:

1단계: 극형식으로 변환

$$1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

2단계: 드무아브르 정리 적용

$$\begin{align} (1+i)^{10} &= (\sqrt{2})^{10}\left(\cos\frac{10\pi}{4} + i\sin\frac{10\pi}{4}\right) \\ &= 2^5\left(\cos\frac{5\pi}{2} + i\sin\frac{5\pi}{2}\right) \\ &= 32(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) \\ &= 32(0 + i) = 32i \end{align}$$

3. 복소수의 n제곱근

드무아브르 정리를 역으로 활용하면 복소수의 n제곱근을 구할 수 있습니다. 실수와 달리 복소수의 n제곱근은 정확히 n개 존재합니다.

복소수의 n제곱근

복소수 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$의 n제곱근은

$$w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)$$

여기서 $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$

4. 연습문제

문제 1

다음 복소수를 극형식으로 나타내고, 10제곱을 계산하시오.

$$z = -1 + \sqrt{3}i$$

풀이 1

1단계: 크기 계산

$$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$

2단계: 편각 계산

복소수가 제2사분면에 위치하므로,

$$\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$$

제2사분면에서 $\tan\theta = -\sqrt{3}$이므로 $\theta = \frac{2\pi}{3}$

3단계: 극형식

$$z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$$

4단계: 10제곱 계산 (드무아브르 정리)

$$\begin{align} z^{10} &= 2^{10}\left(\cos\frac{20\pi}{3} + i\sin\frac{20\pi}{3}\right) \\ &= 1024\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) \\ &= 1024\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= -512 + 512\sqrt{3}i \end{align}$$

문제 2

방정식 $z^4 = -16$을 만족하는 모든 복소수 $z$를 구하시오.

풀이 2

1단계: -16을 극형식으로 표현

$$-16 = 16(\cos\pi + i\sin\pi)$$

2단계: 4제곱근 공식 적용

$$w_k = \sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{\pi + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{4}\right), \quad k = 0, 1, 2, 3$$

3단계: 각 근 계산

$k = 0$:

$$w_0 = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$$

$k = 1$:

$$w_1 = 2\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} + \sqrt{2}i$$

$k = 2$:

$$w_2 = 2\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} - \sqrt{2}i$$

$k = 3$:

$$w_3 = 2\left(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{2}i$$

답: $z = \pm\sqrt{2} \pm \sqrt{2}i$ (4개의 근)

5. 요약

복소수의 극형식: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
드무아브르 정리: $z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$
복소수의 거듭제곱 계산이 극형식에서 훨씬 간단함
복소수의 n제곱근은 정확히 n개 존재함