치환적분에서 적분 구간을 바꾸지 않아 틀리는 이유

1. 계산은 맞는데 답이 틀리는 상황

다음 정적분을 치환적분으로 풀어봅시다.

$u = x^2+1$ 로 놓으면 $du = 2x\,dx$ 이므로 피적분함수는 깔끔하게 $u^3\,du$ 가 됩니다. 여기까지는 거의 모든 학생이 똑같이 갑니다. 문제는 그다음입니다.

실제 값을 직접 확인해 봅시다. $(x^2+1)^3 = x^6+3x^4+3x^2+1$ 이므로 피적분함수는 $2x^7+6x^5+6x^3+2x$ 이고,

정답은 $\dfrac{15}{4}$ 입니다. $\dfrac14$ 과는 15배 차이가 납니다. 계산 실수가 아니라 구간을 옮기지 않은 것이 원인입니다.

2. 구간을 바꿔야 하는 이유

치환적분 공식을 정확히 쓰면 이렇습니다.

오른쪽 적분의 구간이 $a,\,b$ 가 아니라 $g(a),\,g(b)$ 라는 점이 핵심입니다. 적분 기호 아래위의 숫자는 "$x$ 가 어디서 어디까지 움직이는가"를 뜻하는데, 변수를 $u$ 로 바꿨으면 그 숫자도 "$u$ 가 어디서 어디까지 움직이는가"로 다시 읽어야 합니다.

위 예제에서 $g(x)=x^2+1$ 이므로 $x=0$ 일 때 $u=1$, $x=1$ 일 때 $u=2$ 입니다. 따라서

앞서 직접 전개해 얻은 값과 일치합니다.

구간을 바꾸기 싫다면

다른 방법도 있습니다. 부정적분을 먼저 구한 뒤 원래 변수로 되돌려서 원래 구간을 대입하는 것입니다.

두 방법 중 무엇을 쓰든 상관없습니다. 다만 변수와 구간은 반드시 짝을 이뤄야 합니다. $u$ 로 적분했으면 $u$ 의 구간을, $x$ 로 되돌렸으면 $x$ 의 구간을 씁니다. 섞는 순간 틀립니다.

3. 일대일이 아니어도 되는가

흔히 "치환식이 일대일이어야 한다"고 배웁니다. 절반만 맞는 말입니다. 방향에 따라 조건이 다릅니다.

확인해 봅시다. $g(x)=x^2+1$ 은 $[-1,2]$ 에서 일대일이 아닙니다($x=-1$ 과 $x=1$ 이 둘 다 $u=2$). 그래도 공식은 통합니다.

원래 변수로 되돌려 검산해도 $\left[\dfrac{(x^2+1)^4}{4}\right]_{-1}^{2} = \dfrac{625-16}{4} = \dfrac{609}{4}$ 로 같습니다. 일대일 여부는 정방향 치환의 조건이 아닙니다.

일대일이 필요한 쪽은 역방향 치환

문제는 반대 방향입니다. $x$ 를 $u$ 의 함수로 거꾸로 표현할 때는 그 대응이 하나로 정해져야 합니다. 다음이 대표적인 실패 사례입니다.

정답은 $\dfrac23$ 입니다. 여기에 $u=x^2$ 을 밀어 넣으면 어떻게 될까요. $x=-1$ 일 때 $u=1$, $x=1$ 일 때도 $u=1$ 이므로 구간이 $[1,1]$ 로 붕괴해 적분값이 $0$ 이 됩니다.

해결은 구간을 쪼개는 것입니다. $[-1,0]$ 에서는 $x=-\sqrt{u}$, $[0,1]$ 에서는 $x=\sqrt{u}$ 로 각각 단조로운 조각에서 따로 처리하면 $\dfrac13+\dfrac13=\dfrac23$ 이 제대로 나옵니다. 물론 이 적분은 치환할 이유가 전혀 없지만, 역방향 치환이 언제 깨지는지 보여주는 예로는 분명합니다.

삼각치환이 바로 이 경우

$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx$ 에서 $x=\sin\theta$ 로 놓는 것은 전형적인 역방향 치환입니다. $\sqrt{1-\sin^2\theta} = |\cos\theta|$ 인데, $\theta$ 를 $0$ 에서 $\dfrac{\pi}{2}$ 까지로 잡으면 그 구간에서 $\sin$ 이 일대일이고 $\cos\theta \ge 0$ 이므로 절댓값을 안전하게 벗길 수 있습니다.

만약 $\theta$ 의 범위를 $\cos\theta < 0$ 인 곳까지 걸치게 잡으면 $|\cos\theta| \ne \cos\theta$ 가 되어 부호가 어긋납니다. 삼각치환에서 $\theta$ 의 범위를 아무렇게나 잡으면 안 되는 이유가 여기 있습니다.

4. 직접 풀어보기

세 문제 모두 구간을 함께 옮겨야 합니다. 답을 보기 전에 손으로 먼저 해보세요.

풀이. $u=\ln x$ 로 놓으면 $du = \dfrac{dx}{x}$ 입니다. 구간은 $x=1 \Rightarrow u=0$, $x=e \Rightarrow u=1$ 로 바뀝니다.

구간을 그대로 $1$ 에서 $e$ 로 두면 $\dfrac{e^2-1}{2} \approx 3.19$ 라는 엉뚱한 값이 나옵니다.

풀이. $u=\sin\theta$, $du=\cos\theta\,d\theta$. 구간은 $0 \to 1$ 입니다.

풀이. $u=x^2$, $du=2x\,dx$ 이므로 $x\,dx = \dfrac{du}{2}$ 입니다. 구간은 $x=-1 \Rightarrow u=1$, $x=1 \Rightarrow u=1$ 이라 $[1,1]$ 로 붕괴하고, 따라서 적분값은 $0$ 입니다.

이번에는 이것이 정답입니다. 피적분함수 $x\,e^{x^2}$ 이 정확히 $f(g(x))g'(x)$ 꼴이고, $x e^{x^2}$ 은 기함수이므로 대칭 구간에서의 적분이 실제로 $0$ 이기 때문입니다. 앞 절의 $x^2$ 사례와 겉모습은 비슷하지만 결과가 갈리는 이유가 바로 형태가 맞느냐에 있습니다.

5. 점검 순서

치환적분을 쓸 때 다음 세 가지를 순서대로 확인하면 위의 실수는 거의 사라집니다.

1. 피적분함수가 $f(g(x))g'(x)$ 꼴인가? 맞으면 정방향 치환이 무조건 통하고, 일대일인지 따질 필요가 없습니다.
2. $x$ 를 되돌려 써야 하는가? 삼각치환처럼 $x=h(u)$ 로 가는 경우에만 $h$ 가 일대일인지, 부호가 일정한지 확인합니다.
3. 구간을 함께 옮겼는가? $u$ 로 적분하면 $g(a) \to g(b)$, $x$ 로 되돌리면 $a \to b$. 절대 섞지 않습니다.

세 번째가 가장 자주 빠지고, 두 번째가 가장 찾기 어렵습니다. 답이 이상하게 작거나 $0$ 이 나왔다면 대개 이 둘 중 하나입니다.