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Suites et dénombrement
Secondaire 5 — Québec (PFEQ)

Niveau : Secondaire 5  |  Curriculum : PFEQ Québec  |  Mis à jour : mars 2026

Ce chapitre couvre les suites arithmétiques et géométriques, les principes de dénombrement (factorielle, permutations, combinaisons) et le triangle de Pascal avec le binôme de Newton. Ces notions figurent explicitement dans le programme de formation de l'école québécoise (PFEQ) pour le Secondaire 5.

1. Suites arithmétiques Sec 5

Définition — Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite dans laquelle chaque terme s'obtient en ajoutant une constante $d$, appelée raison, au terme précédent.

$$a_1,\; a_2 = a_1 + d,\; a_3 = a_1 + 2d,\; \ldots$$

Terme général : $a_n = a_1 + (n-1)d$

Somme des $n$ premiers termes : $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)$$

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique de deux termes $a$ et $b$ est $\dfrac{a+b}{2}$. Si trois termes $a$, $m$, $b$ forment une suite arithmétique, alors $m = \dfrac{a+b}{2}$.

Exemples résolus

Exemple 1 — Trouver le 20e terme

Trouver le 20e terme de la suite $3, 7, 11, 15, \ldots$

1. Identifier $a_1 = 3$ et $d = 7 - 3 = 4$.
2. Appliquer la formule : $a_n = a_1 + (n-1)d$.
3. $a_{20} = 3 + (20-1)(4) = 3 + 76 = \mathbf{79}$.

Exemple 2 — Trouver $d$ et $a_1$

Sachant que $a_5 = 17$ et $a_{12} = 52$, trouver la raison $d$ et le premier terme $a_1$.

1. $a_{12} - a_5 = (12-5)d \Rightarrow 52 - 17 = 7d \Rightarrow d = 5$.
2. $a_5 = a_1 + 4d \Rightarrow 17 = a_1 + 20 \Rightarrow a_1 = -3$.

Donc $d = 5$ et $a_1 = -3$. Vérification : $a_{12} = -3 + 11(5) = 52$ ✓

Exemple 3 — Formule de Gauss

Trouver la somme des 50 premiers nombres naturels : $1 + 2 + 3 + \cdots + 50$.

1. $a_1 = 1$, $a_{50} = 50$, $n = 50$.
2. $S_{50} = \dfrac{50}{2}(1 + 50) = 25 \times 51 = \mathbf{1275}$.

Anecdote : le jeune Gauss aurait résolu ce problème en quelques secondes à l'âge de 7 ans !

Exemple 4 — Problème concret : sièges dans un théâtre

Un théâtre a 30 rangées. La première rangée contient 20 sièges, et chaque rangée suivante en contient 3 de plus. Combien de sièges y a-t-il au total ?

1. Suite arithmétique : $a_1 = 20$, $d = 3$, $n = 30$.
2. Dernier terme : $a_{30} = 20 + 29(3) = 20 + 87 = 107$.
3. $S_{30} = \dfrac{30}{2}(20 + 107) = 15 \times 127 = \mathbf{1905}$ sièges.

Exercices — Suites arithmétiques

  1. La suite $5, 9, 13, \ldots$ est arithmétique. Trouver le 15e terme.
  2. Trouver la raison et le premier terme si $a_3 = 11$ et $a_8 = 31$.
  3. Calculer $S_{100}$ pour la suite $2, 5, 8, \ldots$
  4. La somme des 12 premiers termes d'une suite arithmétique est 174. Si $a_1 = 3$, trouver $d$.
  5. Insérer deux moyennes arithmétiques entre 4 et 22.
  6. Un emprunt est remboursé en versements qui forment une suite arithmétique. Le 1er versement est 500 \$ et le 10e est 950 \$. Quel est le montant total remboursé ?
Voir les solutions
1. $d = 4$, $a_{15} = 5 + 14(4) = 5 + 56 = \mathbf{61}$.
2. $a_8 - a_3 = 5d \Rightarrow 31 - 11 = 5d \Rightarrow d = 4$. Puis $a_3 = a_1 + 2(4) \Rightarrow a_1 = 3$.
3. $a_1 = 2$, $d = 3$, $a_{100} = 2 + 99(3) = 299$. $S_{100} = \dfrac{100}{2}(2 + 299) = 50 \times 301 = \mathbf{15\,050}$.
4. $S_{12} = \dfrac{12}{2}(2a_1 + 11d) = 6(6 + 11d) = 174 \Rightarrow 6 + 11d = 29 \Rightarrow d = \mathbf{\frac{23}{11}} \approx 2{,}09$.
Note : si $d$ doit être entier, revérifier les données.
5. On cherche $m_1$ et $m_2$ tels que $4, m_1, m_2, 22$ soit arithmétique. $d = \dfrac{22-4}{3} = 6$. Donc $m_1 = 10$ et $m_2 = 16$.
6. $a_1 = 500$, $a_{10} = 950$, $d = \dfrac{950-500}{9} = 50$. $S_{10} = \dfrac{10}{2}(500 + 950) = 5 \times 1450 = \mathbf{7250\,\$}$.

2. Suites géométriques Sec 5

Définition — Suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dans laquelle chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par une constante $r$, appelée raison (ou rapport commun).

$$a_1,\; a_2 = a_1 r,\; a_3 = a_1 r^2,\; \ldots$$

Terme général : $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Somme des $n$ premiers termes (si $r \neq 1$) :

$$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$

Série géométrique infinie (si $|r| < 1$) :

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$$

Astuce — Reconnaître une suite géométrique

Dans une suite géométrique, le rapport de deux termes consécutifs est constant : $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = r$ pour tout $n$. Si ce rapport change, la suite n'est pas géométrique.

Exemples résolus

Exemple 1 — Trouver $r$ et $a_5$

Sachant que $a_2 = 6$ et $a_5 = 48$, trouver la raison $r$ et le terme $a_5$.

1. $\dfrac{a_5}{a_2} = r^3 \Rightarrow \dfrac{48}{6} = r^3 \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$.
2. $a_2 = a_1 \cdot r \Rightarrow 6 = a_1 \cdot 2 \Rightarrow a_1 = 3$.
3. $a_5 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = \mathbf{48}$ ✓

Exemple 2 — Somme d'une suite finie

Calculer $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024$.

1. $a_1 = 1$, $r = 2$. Trouver $n$ : $1024 = 2^{n-1} \Rightarrow n-1 = 10 \Rightarrow n = 11$.
2. $S_{11} = 1 \cdot \dfrac{2^{11} - 1}{2 - 1} = 2048 - 1 = \mathbf{2047}$.

Exemple 3 — Série infinie

Calculer la somme $1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \cdots$

1. $a_1 = 1$, $r = \dfrac{1}{3}$. Puisque $|r| = \dfrac{1}{3} < 1$, la série converge.
2. $S_\infty = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{1}{\frac{2}{3}} = \dfrac{3}{2} = \mathbf{1{,}5}$.

Exemple 4 — Problème concret : prolifération bactérienne

Une colonie de bactéries double de taille toutes les 3 heures. Si la population initiale est de 500 bactéries, combien y en aura-t-il après 24 heures ?

1. Après 24 h, il y a $\dfrac{24}{3} = 8$ doublements, donc $n = 9$ termes (incluant $a_1$).
2. $a_1 = 500$, $r = 2$, $a_9 = 500 \cdot 2^8 = 500 \cdot 256 = \mathbf{128\,000}$ bactéries.

Exercices — Suites géométriques

  1. La suite $2, 6, 18, 54, \ldots$ est géométrique. Trouver le 8e terme.
  2. Sachant $a_1 = 5$ et $r = -2$, calculer $S_6$.
  3. Calculer la somme de la série géométrique infinie : $12 + 4 + \dfrac{4}{3} + \cdots$
  4. Trouver $r$ et $a_1$ si $a_3 = 20$ et $a_6 = 160$.
  5. Un capital de 1000 \$ est placé à 5 % d'intérêts composés annuels. Quelle est sa valeur après 10 ans ?
  6. Quelles valeurs de $r$ permettent à la série $\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{n-1}$ de converger ?
Voir les solutions
1. $r = 3$, $a_8 = 2 \cdot 3^7 = 2 \cdot 2187 = \mathbf{4374}$.
2. $S_6 = 5 \cdot \dfrac{(-2)^6 - 1}{-2 - 1} = 5 \cdot \dfrac{64 - 1}{-3} = 5 \cdot \dfrac{63}{-3} = 5 \times (-21) = \mathbf{-105}$.
3. $r = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$, $S_\infty = \dfrac{12}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{12}{\frac{2}{3}} = 12 \times \dfrac{3}{2} = \mathbf{18}$.
4. $\dfrac{a_6}{a_3} = r^3 \Rightarrow \dfrac{160}{20} = 8 \Rightarrow r = 2$. Puis $a_3 = a_1 \cdot 4 \Rightarrow a_1 = 5$.
5. Suite géométrique avec $a_1 = 1000$, $r = 1{,}05$, $n = 11$. $a_{11} = 1000 \cdot (1{,}05)^{10} \approx 1000 \times 1{,}6289 \approx \mathbf{1628{,}89\,\$}$.
6. La série converge si et seulement si $\mathbf{|r| < 1}$, c'est-à-dire $-1 < r < 1$.

3. Factorielle et principe fondamental de dénombrement Sec 5

Définition — Factorielle

Pour tout entier positif $n$, la factorielle de $n$ est :

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

Par convention : $0! = 1$

$n$$n!$
01
11
22
36
424
5120
6720
103 628 800

Principe fondamental de dénombrement

Si une tâche A peut être accomplie de $m$ façons et une tâche B de $n$ façons (indépendamment de A), alors les deux tâches peuvent être accomplies ensemble de $m \times n$ façons.

Ce principe se généralise : si des tâches $T_1, T_2, \ldots, T_k$ ont respectivement $n_1, n_2, \ldots, n_k$ façons d'être réalisées, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$.

Dénombrement par complémentaire

Parfois, il est plus simple de compter ce qu'on ne veut pas et de soustraire du total :

$$\text{Nombre de cas favorables} = \text{Total} - \text{Nombre de cas indésirables}$$

Exemples résolus

Exemple 1 — Mots de passe

Un mot de passe est composé de 3 lettres (A–Z) suivies de 2 chiffres (0–9), les répétitions étant permises. Combien de mots de passe différents sont possibles ?

1. 3 lettres : $26 \times 26 \times 26 = 26^3 = 17\,576$ façons.
2. 2 chiffres : $10 \times 10 = 10^2 = 100$ façons.
3. Total : $17\,576 \times 100 = \mathbf{1\,757\,600}$ mots de passe.

Exemple 2 — Choix d'un comité

Un club de 5 membres doit élire un président, un vice-président et un trésorier (tous différents). Combien de façons y a-t-il de former ce bureau ?

1. Président : 5 choix.
2. Vice-président : 4 choix (parmi les restants).
3. Trésorier : 3 choix.
4. Total : $5 \times 4 \times 3 = \mathbf{60}$ façons.

Exemple 3 — Dénombrement par complémentaire

Combien de nombres à 3 chiffres (de 100 à 999) sont pairs ?

1. Total des nombres à 3 chiffres : $999 - 100 + 1 = 900$.
2. Nombres à 3 chiffres impairs : premier chiffre $\in \{1,\ldots,9\}$ (9 choix), deuxième chiffre $\in \{0,\ldots,9\}$ (10 choix), dernier chiffre $\in \{1,3,5,7,9\}$ (5 choix) : $9 \times 10 \times 5 = 450$.
3. Nombres pairs : $900 - 450 = \mathbf{450}$.

Exercices — Factorielle et principe fondamental

  1. Calculer $\dfrac{8!}{5! \cdot 3!}$.
  2. Un restaurant propose 4 entrées, 6 plats principaux et 3 desserts. Combien de repas à 3 services différents peut-on composer ?
  3. Un code PIN est composé de 4 chiffres (0–9, répétitions permises). Combien de codes sont possibles ? Combien n'ont aucun 0 ?
  4. Combien de plaques d'immatriculation comportant 3 lettres suivies de 3 chiffres (répétitions permises) peut-on former ?
  5. Parmi les nombres à 4 chiffres distincts formés avec $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, combien sont supérieurs à 3000 ?
Voir les solutions
1. $\dfrac{8!}{5! \cdot 3!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \dfrac{336}{6} = \mathbf{56}$.
2. $4 \times 6 \times 3 = \mathbf{72}$ repas.
3. Total : $10^4 = \mathbf{10\,000}$. Sans zéro : $9^4 = \mathbf{6561}$.
4. $26^3 \times 10^3 = 17\,576 \times 1000 = \mathbf{17\,576\,000}$ plaques.
5. Premier chiffre $\in \{3,4,5\}$ (3 choix). Puis 4 chiffres distincts restants parmi les 4 restants : $3 \times 4 \times 3 \times 2 = \mathbf{72}$ nombres.

4. Permutations Sec 5

Définition — Permutation

Une permutation est un arrangement ordonné d'éléments. L'ordre compte !

Permutations de $r$ éléments parmi $n$ : $$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

Permutations avec répétition (on peut réutiliser chaque élément) : $n^r$

Permutations avec objets identiques : Si parmi $n$ objets il y en a $n_1$ identiques d'un type, $n_2$ d'un autre, etc. : $$\frac{n!}{n_1!\, n_2!\, \cdots\, n_k!}$$

Permutations circulaires de $n$ éléments distincts : $(n-1)!$

Attention — Ordre et distinction

La permutation tient compte de l'ordre. Choisir Marie puis Jean est différent de choisir Jean puis Marie. Si l'ordre n'importe pas, il faut utiliser les combinaisons (section suivante).

Exemples résolus

Exemple 1 — Arranger des lettres

De combien de façons peut-on arranger 3 lettres parmi les 26 de l'alphabet (sans répétition) ?

1. $n = 26$, $r = 3$.
2. $P(26, 3) = \dfrac{26!}{23!} = 26 \times 25 \times 24 = \mathbf{15\,600}$.

Exemple 2 — Ordre d'arrivée dans une course

Dans une course de 8 coureurs, combien de podiums (1er, 2e, 3e) différents sont possibles ?

1. $P(8, 3) = \dfrac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = \mathbf{336}$.

Exemple 3 — Anagrammes avec lettres répétées

Combien d'anagrammes distincts le mot « MISSISSIPPI » possède-t-il ? (M:1, I:4, S:4, P:2)

1. Total de lettres : $n = 11$. Répétitions : I×4, S×4, P×2, M×1.
2. $\dfrac{11!}{4!\, 4!\, 2!\, 1!} = \dfrac{39\,916\,800}{24 \times 24 \times 2 \times 1} = \dfrac{39\,916\,800}{1152} = \mathbf{34\,650}$.

Exemple 4 — Arrangements à une table ronde

De combien de façons peut-on placer 6 personnes autour d'une table ronde ?

1. Permutation circulaire : $(n-1)! = (6-1)! = 5! = \mathbf{120}$.

On fixe une personne pour éliminer les rotations équivalentes.

Exercices — Permutations

  1. Calculer $P(9, 4)$.
  2. Combien de façons peut-on choisir et ordonner 5 livres parmi 12 pour les disposer sur une étagère ?
  3. Combien d'anagrammes distincts le mot « CALCUL » possède-t-il ? (C:2, L:2, A:1, U:1)
  4. Un code secret à 4 chiffres distincts est formé avec les chiffres 1 à 9. Combien de codes sont possibles si le premier chiffre est impair ?
  5. 5 hommes et 3 femmes s'assoient à une table ronde. Combien d'arrangements sont possibles si les 3 femmes doivent rester ensemble ?
  6. Combien de mots de 5 lettres (avec ou sans sens) peuvent être formés avec les lettres de « PIANO » sans répétition ?
Voir les solutions
1. $P(9,4) = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = \mathbf{3024}$.
2. $P(12,5) = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 = \mathbf{95\,040}$.
3. CALCUL a 6 lettres : C×2, A×1, L×2, U×1. $\dfrac{6!}{2!\,2!} = \dfrac{720}{4} = \mathbf{180}$.
4. Premier chiffre impair : 5 choix (1,3,5,7,9). Les 3 chiffres suivants sont distincts parmi les 8 restants : $5 \times 8 \times 7 \times 6 = \mathbf{1680}$.
5. Regrouper les 3 femmes en un bloc : 6 entités à table ronde → $(6-1)! = 120$. Les femmes peuvent s'arranger entre elles : $3! = 6$. Total : $120 \times 6 = \mathbf{720}$.
6. « PIANO » a 5 lettres toutes distinctes. $P(5,5) = 5! = \mathbf{120}$.

5. Combinaisons Sec 5

Définition — Combinaison

Une combinaison est une sélection non ordonnée d'éléments. L'ordre n'importe pas !

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

Identité clé : $\dbinom{n}{r} = \dbinom{n}{n-r}$ (choisir $r$ éléments revient à en exclure $n-r$).

Permutation vs Combinaison

CritèrePermutation $P(n,r)$Combinaison $C(n,r)$
L'ordre compte ?OuiNon
Formule$\dfrac{n!}{(n-r)!}$$\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
Relation$P(n,r) = r! \times C(n,r)$
ExemplePodium d'une courseÉquipe de projet

Exemples résolus

Exemple 1 — Choisir une équipe

De combien de façons peut-on former une équipe de 4 joueurs parmi 10 candidats ?

1. L'ordre ne compte pas (ce sont des équipiers équivalents).
2. $C(10,4) = \dfrac{10!}{4!\,6!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4!} = \dfrac{5040}{24} = \mathbf{210}$.

Exemple 2 — Comité avec restrictions (inclusion)

Dans un groupe de 8 personnes dont Alice et Bob, de combien de façons forme-t-on un comité de 3 membres si Alice doit en faire partie ?

1. Alice est déjà choisie. Il reste à choisir 2 parmi les 7 autres.
2. $C(7,2) = \dfrac{7!}{2!\,5!} = \dfrac{7 \times 6}{2} = \mathbf{21}$.

Exemple 3 — Comité avec restrictions (exclusion)

Même groupe de 8, mais Bob ne peut pas faire partie du comité de 3.

1. Bob est exclu. Il reste 7 personnes parmi lesquelles choisir 3.
2. $C(7,3) = \dfrac{7!}{3!\,4!} = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{6} = \mathbf{35}$.

Exemple 4 — Main de poker

Combien de mains de 5 cartes peut-on distribuer à partir d'un jeu de 52 cartes standard ?

1. L'ordre des cartes dans la main n'importe pas.
2. $C(52,5) = \dfrac{52!}{5!\,47!} = \dfrac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{120} = \mathbf{2\,598\,960}$.

Exercices — Combinaisons

  1. Calculer $\dbinom{12}{5}$.
  2. De combien de façons peut-on choisir 3 représentants parmi 15 étudiants ?
  3. Un groupe de 10 personnes veut former un comité de 4 membres, dont au moins 2 femmes (6 femmes et 4 hommes au total). Combien de comités sont possibles ?
  4. De combien de façons peut-on choisir 2 cartes rouges et 3 cartes noires dans un jeu de 52 cartes ?
  5. Prouver l'identité $\dbinom{n}{r} = \dbinom{n}{n-r}$ algébriquement.
  6. Un sous-ensemble de 3 lettres est choisi parmi $\{A, B, C, D, E, F\}$. Combien contiennent la lettre A mais pas la lettre F ?
Voir les solutions
1. $\dbinom{12}{5} = \dfrac{12!}{5!\,7!} = \dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{120} = \dfrac{95040}{120} = \mathbf{792}$.
2. $C(15,3) = \dfrac{15 \times 14 \times 13}{6} = \dfrac{2730}{6} = \mathbf{455}$.
3. Exactement 2 femmes : $C(6,2)\times C(4,2) = 15 \times 6 = 90$. Exactement 3 femmes : $C(6,3)\times C(4,1) = 20 \times 4 = 80$. Exactement 4 femmes : $C(6,4)\times C(4,0) = 15 \times 1 = 15$. Total : $90 + 80 + 15 = \mathbf{185}$.
4. 26 cartes rouges et 26 noires. $C(26,2) \times C(26,3) = 325 \times 2600 = \mathbf{845\,000}$.
5. $\dbinom{n}{n-r} = \dfrac{n!}{(n-r)!\,r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} = \dbinom{n}{r}$ ✓ (les dénominateurs sont les mêmes).
6. A est incluse, F est exclue → choisir 2 parmi $\{B, C, D, E\}$ : $C(4,2) = \mathbf{6}$.

6. Triangle de Pascal et binôme de Newton Sec 5

Le triangle de Pascal est une disposition triangulaire des coefficients binomiaux $\dbinom{n}{r}$. Chaque entrée est égale à la somme des deux entrées directement au-dessus d'elle.

Triangle de Pascal (lignes 0 à 6)

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1

La ligne $n$ (en commençant à 0) contient les valeurs $\dbinom{n}{0}, \dbinom{n}{1}, \ldots, \dbinom{n}{n}$. Par exemple, la ligne 4 donne $1, 4, 6, 4, 1$, qui correspondent à $\dbinom{4}{0}$ à $\dbinom{4}{4}$.

Propriétés remarquables du triangle de Pascal

Théorème du binôme de Newton

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Le terme général (terme $(k+1)$) est :

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Exemples résolus

Exemple 1 — Développer $(2x - 3)^4$

1. $n = 4$, $a = 2x$, $b = -3$. Les coefficients (ligne 4 de Pascal) : $1, 4, 6, 4, 1$.
2. $\binom{4}{0}(2x)^4(-3)^0 = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 = 16x^4$
$\binom{4}{1}(2x)^3(-3)^1 = 4 \cdot 8x^3 \cdot (-3) = -96x^3$
$\binom{4}{2}(2x)^2(-3)^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 9 = 216x^2$
$\binom{4}{3}(2x)^1(-3)^3 = 4 \cdot 2x \cdot (-27) = -216x$
$\binom{4}{4}(2x)^0(-3)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 81 = 81$

Résultat : $(2x-3)^4 = \mathbf{16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81}$

Exemple 2 — Trouver un terme spécifique

Trouver le 4e terme du développement de $(x + 2)^7$.

1. Le terme $T_{k+1}$ avec $k = 3$ (4e terme) : $T_4 = \dbinom{7}{3} x^{7-3} \cdot 2^3$.
2. $T_4 = 35 \cdot x^4 \cdot 8 = \mathbf{280x^4}$.

Exemple 3 — Trouver le coefficient de $x^3$

Dans le développement de $(3x - 1)^5$, trouver le coefficient de $x^3$.

1. $T_{k+1} = \dbinom{5}{k}(3x)^{5-k}(-1)^k$. On veut $5 - k = 3 \Rightarrow k = 2$.
2. $T_3 = \dbinom{5}{2}(3)^3 x^3 (-1)^2 = 10 \cdot 27 \cdot 1 \cdot x^3 = \mathbf{270x^3}$.

Le coefficient de $x^3$ est $\mathbf{270}$.

Exemple 4 — Utiliser Pascal pour calculer des puissances

Utiliser le binôme de Newton pour calculer $1{,}01^4$ rapidement.

1. Écrire $1{,}01 = 1 + 0{,}01$, donc $(1 + 0{,}01)^4$. $a = 1$, $b = 0{,}01$, $n = 4$.
2. $= 1 + 4(0{,}01) + 6(0{,}01)^2 + 4(0{,}01)^3 + (0{,}01)^4$
3. $= 1 + 0{,}04 + 0{,}0006 + 0{,}000004 + \ldots \approx \mathbf{1{,}040604}$.

Exercices — Triangle de Pascal et binôme de Newton

  1. En utilisant le triangle de Pascal, écrire la ligne 7 (commençant à $n = 7$).
  2. Développer $(a + b)^5$ à l'aide du binôme de Newton.
  3. Trouver le 5e terme du développement de $(2x + y)^8$.
  4. Trouver le coefficient de $x^2 y^4$ dans $(x + y)^6$.
  5. Montrer que la somme des éléments de la ligne $n$ du triangle de Pascal vaut $2^n$. (Indice : poser $a = b = 1$.)
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1. Ligne 7 : $\dbinom{7}{0}$ à $\dbinom{7}{7}$ = $\mathbf{1,\ 7,\ 21,\ 35,\ 35,\ 21,\ 7,\ 1}$.
2. $(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.
3. $T_{k+1}$ avec $k = 4$ : $T_5 = \dbinom{8}{4}(2x)^4 y^4 = 70 \cdot 16x^4 y^4 = \mathbf{1120\,x^4 y^4}$.
4. $T_{k+1} = \dbinom{6}{k} x^{6-k} y^k$. On veut $6-k = 2$ et $k = 4$. Coefficient : $\dbinom{6}{4} = \mathbf{15}$.
5. $(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k$. Poser $a = 1$, $b = 1$ : $(1+1)^n = 2^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}$. La somme des éléments de la ligne $n$ est donc $2^n$. ✓

Tableau récapitulatif des formules Sec 5

Concept Formule Remarque
Suite arithmétique — terme $n$ $a_n = a_1 + (n-1)d$ $d$ = raison (différence commune)
Suite arithmétique — somme $n$ termes $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$ Aussi : $\dfrac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$
Suite géométrique — terme $n$ $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ $r$ = raison (rapport commun)
Suite géométrique — somme $n$ termes $S_n = a_1 \cdot \dfrac{r^n - 1}{r - 1}$ Valide pour $r \neq 1$
Série géométrique infinie $S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - r}$ Seulement si $|r| < 1$
Factorielle $n! = n(n-1)\cdots 2 \cdot 1$ $0! = 1$
Permutation (sans répétition) $P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ L'ordre compte
Permutation circulaire $(n-1)!$ $n$ éléments distincts
Permutation avec répétitions $\dfrac{n!}{n_1!\, n_2!\, \cdots\, n_k!}$ $n_i$ = nombre d'éléments identiques de type $i$
Combinaison $C(n,r) = \dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ L'ordre ne compte pas
Identité de Pascal $\dbinom{n}{r} = \dbinom{n-1}{r-1} + \dbinom{n-1}{r}$ Génère le triangle de Pascal
Binôme de Newton $(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k$ Terme $(k+1)$ : $T_{k+1} = \dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k$

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