Arithmétique

Secondaire 1 et 2 — Programme du Québec (PFEQ) — Mise à jour : mars 2026

📋 Table des matières

  1. Ordre des opérations (PÉDMAS) Sec 1
  2. Fractions Sec 1–2
  3. Nombres décimaux et pourcentages Sec 1–2
  4. Rapports et proportions Sec 1–2
  5. Exposants et notation scientifique Sec 2
  6. Racines et puissances Sec 2
  7. Tableau récapitulatif

1. Ordre des opérations (PÉDMAS) Sec 1

Lorsqu'une expression comporte plusieurs opérations, on ne peut pas les effectuer dans n'importe quel ordre. La convention mathématique universelle s'appelle PÉDMAS (ou BEDMAS en anglais).

📖 La règle PÉDMAS

  1. P — Parenthèses (et autres symboles de regroupement : crochets, accolades)
  2. É — Exposants (puissances et racines)
  3. D / M — Division et Multiplication (de gauche à droite, même priorité)
  4. A / S — Addition et Soustraction (de gauche à droite, même priorité)

💡 Moyen mnémotechnique

Paul Étudie Durant Midi Avec Soin — chaque première lettre correspond à un niveau de priorité.

✏️ Exemple 1 — Application de base

Calculer : $3 + 4 \times 2$

Solution :
1Multiplication d'abord (priorité supérieure) : $4 \times 2 = 8$
2Addition ensuite : $3 + 8 = \mathbf{11}$

⚠️ Erreur fréquente : calculer $3 + 4 = 7$ puis $7 \times 2 = 14$ (incorrect).

✏️ Exemple 2 — Avec parenthèses et exposant

Calculer : $(8 - 3)^2 \div 5 + 1$

Solution :
1Parenthèses : $8 - 3 = 5$, donc l'expression devient $5^2 \div 5 + 1$
2Éxposant : $5^2 = 25$, donc $25 \div 5 + 1$
3Division : $25 \div 5 = 5$, donc $5 + 1$
4Addition : $5 + 1 = \mathbf{6}$

✏️ Exemple 3 — Expression complexe

Calculer : $2 + 3 \times (4 - 1)^2 - 6 \div 2$

Solution :
1P : $(4 - 1) = 3$ → $2 + 3 \times 3^2 - 6 \div 2$
2É : $3^2 = 9$ → $2 + 3 \times 9 - 6 \div 2$
3D/M (gauche à droite) : $3 \times 9 = 27$ et $6 \div 2 = 3$ → $2 + 27 - 3$
4A/S (gauche à droite) : $2 + 27 = 29$, puis $29 - 3 = \mathbf{26}$

⚠️ Erreurs courantes à éviter

📝 Exercices — Ordre des opérations

  1. Calculer : $5 + 2 \times 6 - 4$
  2. Calculer : $3^2 - (7 - 4) \times 2$
  3. Calculer : $[4 + (10 \div 2)] \times 3 - 1$
  4. Calculer : $\dfrac{5^2 - (3 + 2)}{4 \times 2 - 3}$
  5. Calculer : $2 \times [6 - (8 \div 4)^2] + 5$
Voir les solutions — Ordre des opérations
1. $5 + 2 \times 6 - 4$
$= 5 + 12 - 4$ (multiplication en premier)
$= 17 - 4 = \mathbf{13}$
2. $3^2 - (7 - 4) \times 2$
$= 3^2 - 3 \times 2$ (parenthèses)
$= 9 - 3 \times 2$ (exposant)
$= 9 - 6 = \mathbf{3}$ (multiplication, puis soustraction)
3. $[4 + (10 \div 2)] \times 3 - 1$
$= [4 + 5] \times 3 - 1$ (parenthèses internes)
$= 9 \times 3 - 1$ (crochets)
$= 27 - 1 = \mathbf{26}$
4. $\dfrac{5^2 - (3 + 2)}{4 \times 2 - 3}$
Numérateur : $25 - 5 = 20$
Dénominateur : $8 - 3 = 5$
Résultat : $20 \div 5 = \mathbf{4}$
5. $2 \times [6 - (8 \div 4)^2] + 5$
$= 2 \times [6 - 2^2] + 5$ (division interne)
$= 2 \times [6 - 4] + 5$ (exposant)
$= 2 \times 2 + 5$ (crochet)
$= 4 + 5 = \mathbf{9}$

2. Fractions Sec 1–2

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ représente $a$ parties d'un tout divisé en $b$ parties égales. Maîtriser les fractions est essentiel pour toute la suite du parcours mathématique.

0 1 ½ 3/2 ¼ ¾ 5/4 7/4 ⅓ ⅔

ARTH·1Figure 1 — Droite numérique montrant les demis (bleu), les quarts (bleu clair) et les tiers (orange) entre 0 et 2.

Simplification des fractions (PGFC)

📖 Plus grand facteur commun (PGFC)

Pour simplifier $\dfrac{a}{b}$, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGFC (le plus grand entier qui divise les deux).

$$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$$

Le PGFC de 18 et 24 est 6.

Addition et soustraction (PPCM)

📐 Règle — Addition et soustraction de fractions

On ne peut additionner ou soustraire des fractions qu'avec un dénominateur commun. On utilise le PPCM (plus petit commun multiple).

$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot \text{lcm}/b \pm c \cdot \text{lcm}/d}{\text{PPCM}(b, d)}$$

✏️ Exemple 1 — Addition de fractions

Calculer : $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{3}$

Solution :
1PPCM(4, 3) = 12 — le plus petit commun multiple de 4 et 3.
2Convertir : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$
3Additionner : $\dfrac{9}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{17}{12}$
4Écrire comme nombre mixte : $\dfrac{17}{12} = 1\dfrac{5}{12}$

Multiplication et division

📐 Règles — Multiplication et division de fractions

Multiplication

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

On multiplie numérateur par numérateur, dénominateur par dénominateur.

Division

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$$

On multiplie par l'inverse (le réciproque) de la fraction diviseur.

✏️ Exemple 2 — Multiplication et simplification croisée

Calculer : $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{9}{10}$

Solution :
1Simplification croisée : $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{9}{10}$ — 5 et 10 sont divisibles par 5 ; 6 et 9 sont divisibles par 3.
2Après simplification : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2}$
3Multiplier : $\dfrac{1 \times 3}{2 \times 2} = \dfrac{3}{4}$

✏️ Exemple 3 — Division de fractions

Calculer : $\dfrac{7}{8} \div \dfrac{3}{4}$

Solution :
1Inverser la deuxième fraction : $\dfrac{3}{4}$ devient $\dfrac{4}{3}$
2Multiplier : $\dfrac{7}{8} \times \dfrac{4}{3}$
3Simplification : 4 et 8 divisibles par 4 : $\dfrac{7}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{6}$
4Résultat : $\dfrac{7}{6} = 1\dfrac{1}{6}$

💡 Nombres mixtes et fractions impropres

Un nombre mixte combine un entier et une fraction : $2\dfrac{3}{4}$. Une fraction impropre a le numérateur plus grand que le dénominateur : $\dfrac{11}{4}$.

Conversion : $2\dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \times 4 + 3}{4} = \dfrac{11}{4}$

📝 Exercices — Fractions

  1. Simplifier : $\dfrac{36}{48}$
  2. Calculer : $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4}$
  3. Calculer : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$
  4. Calculer : $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$
  5. Calculer : $\dfrac{5}{12} \div \dfrac{5}{6}$
  6. Convertir en fraction impropre, puis calculer : $1\dfrac{2}{3} + 2\dfrac{1}{4}$
Voir les solutions — Fractions
1. PGFC(36, 48) = 12.
$\dfrac{36}{48} = \dfrac{36 \div 12}{48 \div 12} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}$
2. PPCM(5, 4) = 20.
$\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{15}{20} = \mathbf{\dfrac{23}{20} = 1\dfrac{3}{20}}$
3. PPCM(6, 4) = 12.
$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \mathbf{\dfrac{7}{12}}$
4. Simplification croisée : 3 et 9 → diviser par 3 ; 4 et 8 → diviser par 4.
$\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$
5. $\dfrac{5}{12} \div \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{12} \times \dfrac{6}{5}$
Simplification : 5 et 5 → 1 ; 6 et 12 → diviser par 6 : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{1} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$
6. $1\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$ et $2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}$
PPCM(3, 4) = 12 : $\dfrac{20}{12} + \dfrac{27}{12} = \dfrac{47}{12} = \mathbf{3\dfrac{11}{12}}$

3. Nombres décimaux et pourcentages Sec 1–2

Les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages sont trois façons d'exprimer la même quantité. Savoir passer de l'un à l'autre est une compétence fondamentale.

📖 Conversions essentielles

Forme Vers décimal Vers pourcentage Vers fraction
$\dfrac{3}{4}$ $3 \div 4 = 0{,}75$ $0{,}75 \times 100 = 75\%$ —
$0{,}6$ — $0{,}6 \times 100 = 60\%$ $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$
$35\%$ $35 \div 100 = 0{,}35$ — $\dfrac{35}{100} = \dfrac{7}{20}$

Pourcentage d'un nombre

📐 Formules clés

Trouver P% de N : $\text{valeur} = \dfrac{P}{100} \times N$

Trouver le pourcentage : $P = \dfrac{\text{partie}}{\text{tout}} \times 100$

Trouver le tout : $N = \dfrac{\text{valeur}}{P} \times 100$

✏️ Exemple 1 — Pourcentage d'un nombre

Trouver 15% de 240.

Solution :
1$\text{valeur} = \dfrac{15}{100} \times 240 = 0{,}15 \times 240$
2$= \mathbf{36}$

✏️ Exemple 2 — Rabais puis taxe

Un article coûte 200 $. On applique un rabais de 20%, puis on ajoute une taxe de 15%. Quel est le prix final ?

Solution :
1Prix après rabais : $200 \times (1 - 0{,}20) = 200 \times 0{,}80 = 160\text{ \$}$
2Prix après taxe : $160 \times (1 + 0{,}15) = 160 \times 1{,}15 = \mathbf{184\text{ \$}}$

✏️ Exemple 3 — Trouver le prix original

Après une réduction de 30%, un article coûte 84 $. Quel était le prix original ?

Solution :
1Après 30% de rabais, il reste 70% du prix original.
2$0{,}70 \times \text{original} = 84$
3$\text{original} = \dfrac{84}{0{,}70} = \mathbf{120\text{ \$}}$

⚠️ Attention — Les pourcentages ne s'additionnent pas directement !

Un rabais de 30% suivi d'un rabais de 20% n'équivaut pas à un rabais de 50%.

Calcul correct : $(1 - 0{,}30) \times (1 - 0{,}20) = 0{,}70 \times 0{,}80 = 0{,}56$, donc une réduction totale de 44%.

📝 Exercices — Pourcentages

  1. Convertir $\dfrac{7}{8}$ en décimal et en pourcentage.
  2. Calculer 24% de 350.
  3. Un chandail coûtait 80 $. Il est maintenant 52 $. Quel est le pourcentage de réduction ?
  4. Un commerçant applique une hausse de 15% à son prix d'achat de 60 $ pour obtenir le prix de vente. Quel est le prix de vente ?
  5. Après une taxe de 13%, un article coûte 113 $. Quel était le prix avant taxe ?
Voir les solutions — Pourcentages
1. $7 \div 8 = 0{,}875$. En pourcentage : $0{,}875 \times 100 = \mathbf{87{,}5\%}$
2. $\dfrac{24}{100} \times 350 = 0{,}24 \times 350 = \mathbf{84}$
3. Réduction en dollars : $80 - 52 = 28$.
Pourcentage : $\dfrac{28}{80} \times 100 = \mathbf{35\%}$
4. Prix de vente $= 60 \times (1 + 0{,}15) = 60 \times 1{,}15 = \mathbf{69\text{ \$}}$
5. $1{,}13 \times \text{prix} = 113$.
$\text{prix} = \dfrac{113}{1{,}13} = \mathbf{100\text{ \$}}$

4. Rapports et proportions Sec 1–2

Un rapport compare deux quantités de même unité. Une proportion est une égalité entre deux rapports.

📖 Définitions

Simplification d'un rapport

✏️ Exemple 1 — Simplifier un rapport

Dans une classe, il y a 18 filles et 12 garçons. Exprimer le rapport filles : garçons sous sa forme la plus simple.

Solution :
1Rapport : $18 : 12$
2PGFC(18, 12) = 6. Diviser : $18 \div 6 = 3$ et $12 \div 6 = 2$
3Rapport simplifié : $\mathbf{3 : 2}$

Résoudre une proportion par produit croisé

✏️ Exemple 2 — Problème de carte géographique

Sur une carte, 3 cm représentent 45 km. Quelle distance réelle correspond à 8 cm sur la carte ?

Solution :
1Poser la proportion : $\dfrac{3}{45} = \dfrac{8}{x}$
2Produit croisé : $3 \times x = 45 \times 8$
3$3x = 360 \Rightarrow x = \dfrac{360}{3} = \mathbf{120 \text{ km}}$

✏️ Exemple 3 — Comparer deux taux unitaires

Magasin A : 5 kg de pommes pour 8,75 $. Magasin B : 3 kg pour 5,70 $. Quel magasin offre le meilleur prix au kilogramme ?

Solution :
1Taux unitaire A : $8{,}75 \div 5 = 1{,}75 \text{ \$/kg}$
2Taux unitaire B : $5{,}70 \div 3 = 1{,}90 \text{ \$/kg}$
3$1{,}75 < 1{,}90$ → Le magasin A est moins cher.

📝 Exercices — Rapports et proportions

  1. Simplifier le rapport $24 : 36$.
  2. Résoudre : $\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{5}$
  3. Une voiture parcourt 270 km avec 18 L d'essence. Combien de litres faudra-t-il pour 450 km ?
  4. Sur un plan à l'échelle $1 : 250$, une pièce mesure 14 cm. Quelle est sa longueur réelle en mètres ?
  5. Deux épiceries vendent du jus : A vend 2 L pour 3,60 $ et B vend 1,5 L pour 2,85 $. Laquelle offre le meilleur prix par litre ?
Voir les solutions — Rapports et proportions
1. PGFC(24, 36) = 12. $24 : 36 = \mathbf{2 : 3}$
2. Produit croisé : $5x = 15 \times 4 = 60$. $x = \mathbf{12}$
3. Proportion : $\dfrac{18}{270} = \dfrac{x}{450}$.
$270x = 18 \times 450 = 8100$. $x = \mathbf{30 \text{ L}}$
4. $\text{réelle} = 14 \times 250 = 3500 \text{ cm} = \mathbf{35 \text{ m}}$
5. A : $3{,}60 \div 2 = 1{,}80 \text{ \$/L}$. B : $2{,}85 \div 1{,}5 = 1{,}90 \text{ \$/L}$.
Épicerie A est moins chère ($1{,}80 < 1{,}90$).

5. Exposants et notation scientifique Sec 2

Les exposants permettent d'exprimer des multiplications répétées de manière compacte. La notation scientifique exploite les puissances de 10 pour représenter des très grands ou très petits nombres.

📐 Lois des exposants

Loi Formule Exemple
Produit $a^m \times a^n = a^{m+n}$ $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$
Quotient $a^m \div a^n = a^{m-n}$ $5^6 \div 5^2 = 5^4 = 625$
Puissance d'une puissance $(a^m)^n = a^{m \times n}$ $(3^2)^3 = 3^6 = 729$
Exposant nul $a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$ $7^0 = 1$
Exposant négatif $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ $4^{-2} = \dfrac{1}{16}$
Puissance d'un produit $(ab)^n = a^n b^n$ $(3 \times 5)^2 = 9 \times 25 = 225$

✏️ Exemple 1 — Appliquer les lois des exposants

Simplifier : $(3^2 \times 5)^3 \div (3^4 \times 5^2)$

Solution :
1Développer $(3^2 \times 5)^3 = 3^{2 \times 3} \times 5^3 = 3^6 \times 5^3$
2Diviser : $\dfrac{3^6 \times 5^3}{3^4 \times 5^2} = 3^{6-4} \times 5^{3-2} = 3^2 \times 5^1$
3Calculer : $9 \times 5 = \mathbf{45}$

✏️ Exemple 2 — Exposants négatifs

Simplifier : $x^{-2} \times x^5$

Solution :
1Appliquer la loi du produit : $x^{-2} \times x^5 = x^{-2+5} = x^3$
2Résultat : $\mathbf{x^3}$

Notation scientifique

📖 Forme standard de la notation scientifique

$$a \times 10^n \quad \text{où} \quad 1 \leq a < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}$$

✏️ Exemple 3 — Conversions en notation scientifique

1$6\,700\,000 = 6{,}7 \times 10^6$ (virgule déplacée 6 positions vers la gauche)
2$0{,}00034 = 3{,}4 \times 10^{-4}$ (virgule déplacée 4 positions vers la droite)
3Multiplier : $(2{,}5 \times 10^3) \times (4 \times 10^2) = (2{,}5 \times 4) \times 10^{3+2} = 10 \times 10^5 = 1 \times 10^6$

📝 Exercices — Exposants et notation scientifique

  1. Simplifier : $2^3 \times 2^4$
  2. Simplifier : $\dfrac{6^5}{6^2}$
  3. Simplifier : $(2^3)^2$
  4. Évaluer : $3^{-3}$
  5. Écrire en notation scientifique : $0{,}000 052$ et $38\,000\,000$
  6. Calculer : $(3 \times 10^4) \times (2{,}5 \times 10^{-2})$
Voir les solutions — Exposants et notation scientifique
1. $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = \mathbf{128}$
2. $6^5 \div 6^2 = 6^{5-2} = 6^3 = \mathbf{216}$
3. $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = \mathbf{64}$
4. $3^{-3} = \dfrac{1}{3^3} = \dfrac{1}{27} \approx \mathbf{0{,}037}$
5. $0{,}000052 = \mathbf{5{,}2 \times 10^{-5}}$ et $38\,000\,000 = \mathbf{3{,}8 \times 10^7}$
6. $(3 \times 2{,}5) \times 10^{4+(-2)} = 7{,}5 \times 10^2 = \mathbf{750}$

6. Racines et puissances Sec 2

Les racines sont l'inverse des puissances. Comprendre cette relation permet de simplifier des expressions et de résoudre des équations.

📖 Définitions et relations

$$(\sqrt{a})^2 = a \qquad (\sqrt[3]{a})^3 = a$$

💡 Carrés parfaits à mémoriser

$n$ $n^2$ $n$ $n^2$
11749
24864
39981
41610100
52511121
63612144

✏️ Exemple 1 — Simplifier une racine carrée

Simplifier : $\sqrt{72}$

Solution :
1Trouver le plus grand carré parfait qui divise 72 : $72 = 36 \times 2$
2$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
3Résultat : $\mathbf{6\sqrt{2}} \approx 8{,}485$

✏️ Exemple 2 — Racine cubique

Calculer : $\sqrt[3]{125}$

Solution :
1Chercher $n$ tel que $n^3 = 125$.
2$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ ✓
3$\sqrt[3]{125} = \mathbf{5}$

✏️ Exemple 3 — Relation racine-puissance

Évaluer : $(\sqrt{5})^2$ et $\sqrt{4^3}$

Solution :
1$(\sqrt{5})^2 = (5^{1/2})^2 = 5^{2/2} = 5^1 = \mathbf{5}$
2$\sqrt{4^3} = (4^3)^{1/2} = 4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = \mathbf{8}$

💡 Triples pythagoriciennes — Aperçu

Un triple pythagoricien est un ensemble de trois entiers $(a, b, c)$ tels que $a^2 + b^2 = c^2$. Les plus courants à connaître :

Ces triples seront utiles en géométrie (théorème de Pythagore) en Sec 2 et 3.

📝 Exercices — Racines et puissances

  1. Calculer : $\sqrt{196}$
  2. Simplifier : $\sqrt{50}$
  3. Calculer : $\sqrt[3]{-27}$
  4. Évaluer : $16^{3/2}$
Voir les solutions — Racines et puissances
1. $196 = 14^2$, donc $\sqrt{196} = \mathbf{14}$
2. $50 = 25 \times 2$, donc $\sqrt{50} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = \mathbf{5\sqrt{2}}$
3. $(-3)^3 = -27$, donc $\sqrt[3]{-27} = \mathbf{-3}$
4. $16^{3/2} = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = \mathbf{64}$
(Alternativement : $16^{3/2} = (16^3)^{1/2} = 4096^{1/2} = 64$)

7. Tableau récapitulatif — Arithmétique Sec 1–2

Sujet Règle / Formule clé Exemple
PÉDMAS P → É → D/M → A/S $3 + 4^2 \div 2 = 3 + 8 = 11$
Simplif. fraction Diviser par le PGFC $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$
Addition fractions PPCM au dénominateur $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}$
Mult. fractions Numérateur × numérateur $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$
Div. fractions Multiplier par l'inverse $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{5} = \dfrac{5}{6}$
Pourcentage de N $P\% \times N = \frac{P}{100} \times N$ $20\% \times 150 = 30$
Proportion $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc$ $\frac{x}{12} = \frac{5}{4} \Rightarrow x = 15$
Produit d'exposants $a^m \times a^n = a^{m+n}$ $3^2 \times 3^3 = 3^5 = 243$
Exposant négatif $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$
Notation scientifique $a \times 10^n$, $1 \leq a < 10$ $0{,}0045 = 4{,}5 \times 10^{-3}$
Racine carrée $\sqrt{a} = a^{1/2}$ $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
Puissance rationnelle $a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m$ $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$
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